Номер 7, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Сформулируйте правило нахождения наивероятнейшего числа успехов в $n$ испытаниях Бернулли. Чему приблизительно равно это число?

Сформулируйте правило нахождения наивероятнейшего числа успехов в n испытаниях Бернулли

Наивероятнейшее число успехов $k_0$ в серии из $n$ испытаний Бернулли — это целое неотрицательное число $k$, для которого вероятность $P_n(k)$ наступления ровно $k$ успехов является максимальной. Вероятность $P_n(k)$ определяется формулой Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q = 1-p$ — вероятность неудачи.

Правило нахождения наивероятнейшего числа успехов $k_0$ заключается в определении целочисленных решений следующего двойного неравенства: $np - q \le k_0 \le np + p$

Поскольку длина числового отрезка $[np - q, np + p]$ равна $(np + p) - (np - q) = p + q = 1$, он может содержать одно или два целых числа. Это приводит к двум случаям:

1. Если число $(n+1)p$ не является целым, то существует только одно наивероятнейшее число успехов $k_0$, которое находится как целая часть этого числа: $k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor$.

2. Если число $(n+1)p$ является целым, то существуют два наивероятнейших числа успехов: $k_1 = (n+1)p - 1$ и $k_2 = (n+1)p$. При этом вероятности для этих двух значений равны: $P_n(k_1) = P_n(k_2)$.

Ответ: Наивероятнейшее число успехов $k_0$ определяется из неравенства $np - q \le k_0 \le np + p$. Если значение $(n+1)p$ не является целым, то $k_0 = \lfloor (n+1)p \rfloor$. Если $(n+1)p$ — целое число, то существует два таких наивероятнейших числа: $k_1 = (n+1)p - 1$ и $k_2 = (n+1)p$.

Чему приблизительно равно это число?

Как видно из неравенства $np - q \le k_0 \le np + p$, наивероятнейшее число успехов $k_0$ всегда находится в непосредственной близости от величины $np$.

Величина $np$ представляет собой математическое ожидание (или среднее значение) числа успехов для биномиального распределения. Поэтому наивероятнейшее число успехов можно считать приблизительно равным его математическому ожиданию. Эта аппроксимация становится особенно точной при большом числе испытаний $n$.

Ответ: Наивероятнейшее число успехов приблизительно равно произведению числа испытаний $n$ на вероятность успеха $p$ в одном испытании: $k_0 \approx np$.