Номер 3, страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Как по сгруппированному ряду данных составить таблицу распределения частот?

Таблица распределения частот — это инструмент в статистике, который наглядно показывает, как часто значения из набора данных попадают в определённые интервалы (или группы). Чтобы составить такую таблицу на основе уже сгруппированного ряда данных, необходимо выполнить подсчет элементов, попадающих в каждую группу, и систематизировать результаты.

Рассмотрим процесс на конкретном примере. Предположим, у нас есть данные о времени (в минутах), которое 30 сотрудников тратят на дорогу до работы. Данные уже разделены на интервалы.

Исходные данные:

• Общее количество наблюдений (сотрудников): $N=30$.
• Интервалы времени (в минутах): [10–20), [20–30), [30–40), [40–50), [50–60).
• Необработанный ряд данных (нужен для подсчета частот): 15, 22, 38, 45, 51, 12, 28, 31, 49, 18, 25, 33, 41, 58, 24, 35, 42, 19, 29, 30, 48, 55, 36, 21, 14, 39, 44, 27, 34, 46.

Пошаговая инструкция

1. Шаг 1: Подготовка структуры таблицы

   Создайте основу таблицы. В ней как минимум должно быть два столбца: один для интервалов (групп), другой для частоты (количества элементов в группе). Часто таблицу дополняют столбцами для относительной и накопленной частоты для более полного анализа.

2. Шаг 2: Подсчет абсолютной частоты (f)

   Абсолютная частота — это количество наблюдений, попадающих в каждый конкретный интервал. Пройдитесь по всему ряду исходных данных и подсчитайте, сколько значений попадает в каждую группу.

   • Интервал [10–20): 15, 12, 18, 19, 14. Итого: 5
   • Интервал [20–30): 22, 28, 25, 24, 29, 21, 27. Итого: 7
   • Интервал [30–40): 38, 31, 33, 35, 30, 36, 39, 34. Итого: 8
   • Интервал [40–50): 45, 49, 41, 42, 48, 44, 46. Итого: 7
   • Интервал [50–60): 51, 58, 55. Итого: 3

   В качестве проверки убедитесь, что сумма всех частот равна общему количеству наблюдений: $5 + 7 + 8 + 7 + 3 = 30$. Это совпадает с нашим $N$.

3. Шаг 3: Вычисление относительной частоты (w)

   Относительная частота показывает долю (или процент) каждой группы в общем объеме данных. Она вычисляется по формуле:

   $w_i = \frac{f_i}{N}$

   где $f_i$ — частота i-го интервала, а $N$ — общее число наблюдений.

   • [10–20): $w = 5 / 30 \approx 0.167$
   • [20–30): $w = 7 / 30 \approx 0.233$
   • [30–40): $w = 8 / 30 \approx 0.267$
   • [40–50): $w = 7 / 30 \approx 0.233$
   • [50–60): $w = 3 / 30 = 0.100$

   Сумма всех относительных частот должна быть равна 1 (или очень близка к 1 в случае округлений). В нашем примере: $0.167 + 0.233 + 0.267 + 0.233 + 0.100 = 1.000$.

4. Шаг 4: Вычисление накопленной частоты

   Накопленная (кумулятивная) частота для каждого интервала — это сумма его собственной частоты и частот всех предыдущих интервалов. Она показывает, сколько данных имеют значение, меньшее верхней границы текущего интервала.

   • [10–20): 5
   • [20–30): $5 + 7 = 12$
   • [30–40): $12 + 8 = 20$
   • [40–50): $20 + 7 = 27$
   • [50–60): $27 + 3 = 30$

   Значение накопленной частоты для последнего интервала всегда равно общему числу наблюдений $N$.

5. Шаг 5: Заполнение итоговой таблицы

   Теперь, когда все расчеты выполнены, мы можем заполнить итоговую таблицу распределения частот.

Итоговая таблица распределения частот

Ответ: Чтобы составить таблицу распределения частот по сгруппированному ряду данных, необходимо: 1) взять заданные интервалы (группы); 2) для каждого интервала подсчитать абсолютную частоту — количество исходных данных, попадающих в него; 3) при необходимости рассчитать относительную частоту (долю каждой группы) и накопленную частоту (сумму частот текущей и всех предыдущих групп); 4) внести все полученные значения в итоговую таблицу для наглядного представления распределения данных.