Номер 7, страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Как изменится среднее значение ряда данных, если все данные уменьшить в 5 раз?

Чтобы ответить на этот вопрос, проанализируем, как вычисляется среднее значение и как на него повлияет указанное преобразование данных.

Среднее значение (или среднее арифметическое) ряда данных — это сумма всех элементов этого ряда, делённая на их количество.

Пусть у нас есть исходный ряд данных, состоящий из $n$ элементов: $x_1, x_2, \dots, x_n$.

Тогда его среднее значение, обозначим его как $\bar{x}_{старое}$, вычисляется по формуле:
$\bar{x}_{старое} = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Согласно условию, все данные в ряду уменьшают в 5 раз. Это означает, что каждый элемент исходного ряда делят на 5. Новый ряд данных будет иметь следующий вид:
$\frac{x_1}{5}, \frac{x_2}{5}, \dots, \frac{x_n}{5}$

Теперь вычислим среднее значение для нового ряда данных, обозначив его $\bar{x}_{новое}$:
$\bar{x}_{новое} = \frac{\frac{x_1}{5} + \frac{x_2}{5} + \dots + \frac{x_n}{5}}{n}$

В числителе этой дроби мы можем вынести за скобки общий множитель $\frac{1}{5}$:
$\bar{x}_{новое} = \frac{\frac{1}{5} \cdot (x_1 + x_2 + \dots + x_n)}{n}$

Это выражение можно преобразовать, вынеся множитель $\frac{1}{5}$ из всей дроби:
$\bar{x}_{новое} = \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \right)$

Мы видим, что выражение в скобках — это в точности формула для исходного среднего значения $\bar{x}_{старое}$. Таким образом, мы получаем прямую связь между новым и старым средним значением:
$\bar{x}_{новое} = \frac{1}{5} \cdot \bar{x}_{старое}$

Этот результат показывает, что новое среднее значение равно старому среднему значению, делённому на 5. Следовательно, среднее значение всего ряда данных уменьшилось в 5 раз.

Рассмотрим наглядный пример.
Пусть исходный ряд чисел: {10, 20, 60}.
Его среднее значение: $\bar{x}_{старое} = \frac{10 + 20 + 60}{3} = \frac{90}{3} = 30$.
Теперь уменьшим каждое число в 5 раз. Получим новый ряд: {$\frac{10}{5}, \frac{20}{5}, \frac{60}{5}$} = {2, 4, 12}.
Среднее значение нового ряда: $\bar{x}_{новое} = \frac{2 + 4 + 12}{3} = \frac{18}{3} = 6$.
Сравнивая результаты, видим, что $30 / 5 = 6$. Среднее значение действительно уменьшилось в 5 раз, что подтверждает наш вывод.

Ответ: Среднее значение ряда данных уменьшится в 5 раз.