Номер 5, страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Сформулируйте алгоритм использования функции $\varphi$ в приближённых вычислениях по схеме Бернулли.

Алгоритм использования функции $\phi(x)$ в приближенных вычислениях по схеме Бернулли основан на локальной теореме Муавра-Лапласа. Функция $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ является функцией плотности вероятности стандартного нормального распределения $N(0, 1)$. Теорема позволяет найти приближенное значение вероятности $P_n(k)$ того, что в $n$ независимых испытаниях событие A наступит ровно $k$ раз.

Точная вероятность вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $p$ — вероятность "успеха", а $q = 1 - p$ — вероятность "неудачи" в одном испытании. При больших $n$ вычисления по этой формуле становятся очень трудоемкими.

Приближенная формула согласно локальной теореме Муавра-Лапласа имеет вид:

$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$

где значение $x$ вычисляется как $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$.

Алгоритм использования формулы:

1. Определение параметров задачи. Из условия задачи необходимо извлечь следующие значения:
   • $n$ — общее число независимых испытаний.
   • $p$ — вероятность наступления события в каждом испытании.
   • $k$ — требуемое число наступлений события.
2. Проверка условий применимости теоремы. Аппроксимация дает хорошие результаты, когда число испытаний $n$ достаточно велико, а вероятность $p$ не слишком близка к 0 или 1. На практике используют следующие критерии:
   • $n$ велико (обычно $n > 100$).
   • Произведения $np$ и $nq$ (где $q=1-p$) должны быть достаточно большими. Обычно проверяют условия $np \ge 9$ и $nq \ge 9$. Если эти условия не выполняются, точность приближения будет низкой.
3. Расчет вспомогательных величин.
   • Вычислить вероятность "неудачи": $q = 1 - p$.
   • Найти математическое ожидание (среднее число успехов): $E(X) = np$.
   • Найти стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{npq}$.
4. Вычисление аргумента $x$. Рассчитать значение нормированного отклонения $x$ по формуле:

   $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$

   Полученное значение $x$ рекомендуется округлить до сотых или тысячных, в зависимости от точности доступных таблиц для функции $\phi(x)$.
5. Нахождение значения функции $\phi(x)$.
   • Используя таблицы значений для функции $\phi(x)$ (таблицы значений функции Гаусса), найти соответствующее значение.
   • Важно помнить, что функция $\phi(x)$ является четной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Если вычисленное значение $x$ отрицательно (например, $x = -1.25$), то в таблице ищут значение для положительного аргумента: $\phi(-1.25) = \phi(1.25)$.
   • При отсутствии таблиц, значение можно вычислить на калькуляторе или в программе по ее определению: $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$.
6. Вычисление искомой вероятности. Подставить найденные значения $\phi(x)$ и $\sqrt{npq}$ в основную формулу:

   $P_n(k) \approx \frac{\phi(x)}{\sigma} = \frac{\phi(x)}{\sqrt{npq}}$

   Это и будет искомая приближенная вероятность.

Ответ: Для нахождения приближенной вероятности $P_n(k)$ по схеме Бернулли с помощью функции $\phi(x)$ необходимо выполнить следующий алгоритм:
1. Определить параметры $n, k, p$ из условия задачи.
2. Убедиться в выполнении условий применимости теоремы Муавра-Лапласа ($n$ велико, $np \ge 9$, $nq \ge 9$).
3. Вычислить $q = 1-p$ и стандартное отклонение $\sigma = \sqrt{npq}$.
4. Рассчитать стандартизированное значение $x = \frac{k - np}{\sigma}$.
5. Найти значение функции $\phi(x)$ по таблице или формуле, учитывая ее четность ($\phi(-x) = \phi(x)$).
6. Рассчитать искомую вероятность по формуле $P_n(k) \approx \frac{\phi(x)}{\sigma}$.