Номер 4, страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Чему равна площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком гауссовой кривой?

Площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и графиком гауссовой кривой, находится путем вычисления определенного интеграла от функции, описывающей эту кривую, в пределах от $-\infty$ до $+\infty$.

Гауссова кривая является графиком функции плотности вероятности нормального распределения, которая в общем виде записывается как:$$ f(x; \mu, \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$где $\mu$ — математическое ожидание (среднее значение), а $\sigma$ — среднеквадратичное отклонение.

Площадь $S$ под кривой равна интегралу от этой функции по всей числовой оси:$$ S = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx $$

Этот интеграл является фундаментальным в теории вероятностей. По определению, полная вероятность любого события равна 1. Функция $f(x; \mu, \sigma)$ является функцией плотности вероятности, и ее интеграл по всему пространству возможных значений (от $-\infty$ до $+\infty$) должен быть равен 1.

Мы можем доказать это математически. Сделаем замену переменной:$$ z = \frac{x-\mu}{\sigma} $$Тогда $dz = \frac{dx}{\sigma}$, или $dx = \sigma dz$. Пределы интегрирования при этом не изменяются.

Подставим новую переменную в интеграл:$$ S = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} (\sigma dz) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}} dz $$

Полученный интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\frac{z^2}{2}} dz$ является известным интегралом Пуассона (или Гаусса). Его значение равно $\sqrt{2\pi}$. Для его вычисления используется трюк с переходом к полярным координатам при вычислении квадрата интеграла.

Таким образом, получаем:$$ S = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \sqrt{2\pi} = 1 $$

Это означает, что площадь под любой гауссовой кривой, независимо от ее параметров $\mu$ и $\sigma$, всегда равна 1. Это свойство нормировки функции плотности вероятности.

Ответ: 1