Номер 1, страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Нарисуйте эскиз графика гауссовой кривой $\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Для построения эскиза графика функции $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ проведем ее полное исследование.

1. Область определения функции

Функция определена для всех действительных значений $x$, так как выражение под экспонентой и сама экспонента существуют для любого $x \in \mathbb{R}$.

$D(\phi) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и симметрия

Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$:

$\phi(-x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(-x)^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} = \phi(x)$.

Так как $\phi(-x) = \phi(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Точки пересечения с осями координат

С осью OY: найдем значение функции при $x=0$.

$\phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{0^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \approx \frac{1}{\sqrt{2 \cdot 3.1416}} \approx \frac{1}{2.5066} \approx 0.3989$.

Точка пересечения с осью OY (она же является вершиной кривой) имеет координаты $(0, \frac{1}{\sqrt{2\pi}})$.

С осью OX: найдем значения $x$, при которых $\phi(x) = 0$.

Уравнение $\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} = 0$ не имеет решений, так как множитель $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$ - константа, а $e^z > 0$ для любого конечного $z$. Следовательно, график функции не пересекает ось OX и полностью лежит в верхней полуплоскости.

4. Асимптоты

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.

Найдем горизонтальные асимптоты, вычислив пределы функции при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

При $x \to \pm\infty$, показатель степени $-\frac{x^2}{2} \to -\infty$. Тогда $e^{-\frac{x^2}{2}} \to 0$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot 0 = 0$.

Следовательно, прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой графика при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$.

5. Экстремумы и интервалы монотонности

Найдем первую производную функции по правилу дифференцирования сложной функции:

$\phi'(x) = \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\right)' = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot \left(-\frac{x^2}{2}\right)' = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) = -\frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\phi'(x) = 0 \implies x=0$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=0$ делит область определения:

• При $x \in (-\infty, 0)$, $\phi'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• При $x \in (0, +\infty)$, $\phi'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.

В точке $x=0$ происходит смена знака производной с "+" на "-", значит, это точка максимума. Максимальное значение функции: $\phi_{max} = \phi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.

6. Точки перегиба и интервалы выпуклости/вогнутости

Найдем вторую производную, используя правило дифференцирования произведения:

$\phi''(x) = \left(-\frac{x}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}\right)' = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( (x)' \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} + x \cdot (e^{-\frac{x^2}{2}})' \right) = -\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \left( 1 \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} + x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} \cdot (-x) \right)$.

$\phi''(x) = -\frac{e^{-\frac{x^2}{2}}}{\sqrt{2\pi}}(1-x^2) = \frac{x^2-1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$.

Приравняем вторую производную к нулю: $\phi''(x) = 0 \implies x^2-1=0 \implies x = \pm 1$.

Определим знаки второй производной на интервалах:

• При $x \in (-\infty, -1)$ и $x \in (1, +\infty)$, $\phi''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (вогнутый).
• При $x \in (-1, 1)$, $\phi''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх.

Точки $x=-1$ и $x=1$ являются точками перегиба. Ординаты этих точек равны: $\phi(\pm 1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi e}} \approx 0.2420$.

7. Эскиз графика

На основе проведенного анализа строим эскиз графика. График представляет собой знаменитую колоколообразную кривую Гаусса.

Ответ:

Эскиз графика функции $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}}$ представляет собой симметричную относительно оси OY колоколообразную кривую, которая полностью расположена выше оси OX. Ключевые характеристики графика:

• Максимум в точке $(0, \frac{1}{\sqrt{2\pi}})$.
• Горизонтальная асимптота: ось OX ($y=0$).
• Точки перегиба: $(\pm 1, \frac{1}{\sqrt{2\pi e}})$.
• Симметрия: график четной функции, симметричен относительно оси OY.
• Интервалы монотонности: функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.
• Выпуклость: график выпуклый вверх (как шапка) на интервале $(-1, 1)$ и выпуклый вниз (как чаша) на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.