Номер 5, страница 210, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Сформулируйте два правила нахождения среднего значения.

Существует несколько способов нахождения среднего значения в зависимости от контекста и имеющихся данных. Наиболее распространенными являются среднее арифметическое простое и среднее арифметическое взвешенное.

Правило 1: Нахождение среднего арифметического (простого)

Среднее арифметическое — это основной и наиболее часто используемый вид среднего значения. Оно вычисляется для набора чисел, где каждый элемент имеет равную значимость.

Шаг 1: Сложите все числа (значения) в наборе данных.
Шаг 2: Разделите полученную сумму на количество чисел в наборе.

Математически это выражается следующей формулой:
Пусть дан набор чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$, где $n$ — количество чисел в наборе. Среднее арифметическое $(\bar{x})$ вычисляется как: $$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$ где $\sum_{i=1}^{n} x_i$ — это сумма всех чисел от $x_1$ до $x_n$.

Пример: Найдем среднее значение для чисел 5, 8, 10, 15.
1. Сумма чисел: $5 + 8 + 10 + 15 = 38$.
2. Количество чисел: 4.
3. Среднее арифметическое: $\bar{x} = \frac{38}{4} = 9.5$.

Ответ: Чтобы найти среднее арифметическое значение, нужно сложить все значения в наборе и разделить полученную сумму на их количество.

Правило 2: Нахождение среднего арифметического взвешенного

Среднее арифметическое взвешенное используется, когда отдельные значения в наборе данных имеют разную важность или "вес". Например, при расчете итоговой оценки, где экзамен имеет больший вес, чем домашнее задание.

Шаг 1: Умножьте каждое значение на его соответствующий вес.
Шаг 2: Сложите все полученные произведения (значение × вес).
Шаг 3: Сложите все веса.
Шаг 4: Разделите сумму произведений (из шага 2) на сумму весов (из шага 3).

Математически это выражается формулой:
Пусть дан набор чисел $x_1, x_2, \ldots, x_n$ и соответствующие им веса $w_1, w_2, \ldots, w_n$. Среднее арифметическое взвешенное $(\bar{x}_w)$ вычисляется как: $$ \bar{x}_w = \frac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \ldots + x_n w_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i w_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i} $$ где $x_i$ — значение, а $w_i$ — его вес.

Пример: Студент получил следующие оценки: 5 за контрольную работу (вес 3), 4 за домашнее задание (вес 1) и 5 за экзамен (вес 5).
1. Сумма произведений (оценка × вес): $(5 \cdot 3) + (4 \cdot 1) + (5 \cdot 5) = 15 + 4 + 25 = 44$.
2. Сумма весов: $3 + 1 + 5 = 9$.
3. Средняя взвешенная оценка: $\bar{x}_w = \frac{44}{9} \approx 4.89$.

Ответ: Чтобы найти среднее взвешенное значение, нужно каждое значение умножить на его вес, сложить полученные произведения и разделить эту сумму на сумму всех весов.