Номер 2, страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Вычислите приближённо наибольшее значение функции $\varphi$.

Для вычисления наибольшего значения функции `\varphi` необходимо её математическое описание (формула), которое в вопросе отсутствует. Поэтому, приведём общий алгоритм нахождения наибольшего значения функции и решим задачу на конкретном примере, который иллюстрирует, как можно найти "приближённое" значение.

Общий алгоритм нахождения наибольшего значения функции `f(x)` на отрезке `[a, b]` или на всей области определения:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции `f'(x)`.
3. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю (`f'(x) = 0`) или не существует.
4. Отобрать критические точки, которые принадлежат рассматриваемому интервалу.
5. Вычислить значения функции `f(x)` в отобранных критических точках и на концах отрезка (если он задан).
6. Сравнить все полученные значения и выбрать из них самое большое. Это и будет наибольшим значением функции на заданном интервале.

Пример решения для гипотетической функции `\varphi`

Предположим, что функция задана формулой `\varphi(x) = \frac{\ln(x)}{x}`. Найдём её наибольшее значение на всей области определения.

1. Область определения.

Логарифмическая функция `\ln(x)` определена только для `x > 0`. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, что также приводит к условию `x \neq 0`. Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции `D(\varphi) = (0, +\infty)`.

2. Нахождение производной.

Используем правило дифференцирования частного `\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}`. В нашем случае `u = \ln(x)` и `v = x`.

`\varphi'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}`

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю для поиска стационарных точек:

`\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0`

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Так как `x > 0`, знаменатель `x^2` всегда больше нуля.

`1 - \ln x = 0`

`\ln x = 1`

`x = e`

Точка `x=e` — единственная критическая точка. Производная существует во всех точках области определения.

4. Определение точки максимума.

Исследуем знак производной `\varphi'(x)` слева и справа от критической точки `x=e`.

• При `0 < x < e` (например, `x=1`), `\varphi'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = \frac{1-0}{1} = 1 > 0`. Функция возрастает.
• При `x > e` (например, `x=e^2`), `\varphi'(e^2) = \frac{1 - \ln e^2}{(e^2)^2} = \frac{1-2}{e^4} = -\frac{1}{e^4} < 0`. Функция убывает.

Поскольку при переходе через точку `x=e` знак производной меняется с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Так как это единственный экстремум на всей области определения, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

5. Вычисление наибольшего значения.

Теперь вычислим значение функции в точке `x=e`:

`\varphi_{max} = \varphi(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}`

Задание требует найти приближённое значение. Используя известное приближение для числа Эйлера `e \approx 2.718`, получаем:

`\frac{1}{e} \approx \frac{1}{2.718} \approx 0.3678...`

Округлив до сотых, получаем `0.37`.

Ответ: Поскольку функция `\varphi` не была задана, мы рассмотрели пример `\varphi(x) = \frac{\ln(x)}{x}`. Для этой функции наибольшее значение достигается в точке `x=e` и равно `\frac{1}{e}`, что приближённо составляет `0.37`.