Номер 2, страница 220, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Вычислите приближённо наибольшее значение функции $\varphi$.

Для вычисления наибольшего значения функции $\varphi$ необходимо её математическое описание (формула), которое в вопросе отсутствует. Поэтому, приведём общий алгоритм нахождения наибольшего значения функции и решим задачу на конкретном примере, который иллюстрирует, как можно найти "приближённое" значение.

Общий алгоритм нахождения наибольшего значения функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ или на всей области определения:

1. Найти область определения функции.
2. Найти производную функции $f'(x)$.
3. Найти критические точки функции, то есть точки, в которых производная равна нулю ($f'(x) = 0$) или не существует.
4. Отобрать критические точки, которые принадлежат рассматриваемому интервалу.
5. Вычислить значения функции $f(x)$ в отобранных критических точках и на концах отрезка (если он задан).
6. Сравнить все полученные значения и выбрать из них самое большое. Это и будет наибольшим значением функции на заданном интервале.

Пример решения для гипотетической функции $\varphi$

Предположим, что функция задана формулой $\varphi(x) = \frac{\ln(x)}{x}$. Найдём её наибольшее значение на всей области определения.

1. Область определения.

Логарифмическая функция $\ln(x)$ определена только для $x > 0$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, что также приводит к условию $x \neq 0$. Объединяя эти условия, получаем, что область определения функции $D(\varphi) = (0, +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Используем правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. В нашем случае $u = \ln(x)$ и $v = x$.

$\varphi'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - \ln x \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю для поиска стационарных точек:

$\frac{1 - \ln x}{x^2} = 0$

Дробь равна нулю, если её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Так как $x > 0$, знаменатель $x^2$ всегда больше нуля.

$1 - \ln x = 0$

$\ln x = 1$

$x = e$

Точка $x=e$ — единственная критическая точка. Производная существует во всех точках области определения.

4. Определение точки максимума.

Исследуем знак производной $\varphi'(x)$ слева и справа от критической точки $x=e$.

• При $0 < x < e$ (например, $x=1$), $\varphi'(1) = \frac{1 - \ln 1}{1^2} = \frac{1-0}{1} = 1 > 0$. Функция возрастает.
• При $x > e$ (например, $x=e^2$), $\varphi'(e^2) = \frac{1 - \ln e^2}{(e^2)^2} = \frac{1-2}{e^4} = -\frac{1}{e^4} < 0$. Функция убывает.

Поскольку при переходе через точку $x=e$ знак производной меняется с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Так как это единственный экстремум на всей области определения, то в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

5. Вычисление наибольшего значения.

Теперь вычислим значение функции в точке $x=e$:

$\varphi_{max} = \varphi(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$

Задание требует найти приближённое значение. Используя известное приближение для числа Эйлера $e \approx 2.718$, получаем:

$\frac{1}{e} \approx \frac{1}{2.718} \approx 0.3678...$

Округлив до сотых, получаем $0.37$.

Ответ: Поскольку функция $\varphi$ не была задана, мы рассмотрели пример $\varphi(x) = \frac{\ln(x)}{x}$. Для этой функции наибольшее значение достигается в точке $x=e$ и равно $\frac{1}{e}$, что приближённо составляет $0.37$.