Номер 2, страница 222, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. Геометрия и вероятность. Задача Бюффона. Интегралы и приближённый подсчёт числа.

Задача Бюффона — это классическая задача из области геометрической вероятности, сформулированная в XVIII веке французским натуралистом, математиком и естествоиспытателем Жоржем-Луи Леклерком, графом де Бюффоном. Она стала одним из первых примеров применения метода Монте-Карло для решения математических проблем.

Задача Бюффона и геометрическая вероятность

Рассмотрим плоскость, расчерченную параллельными прямыми, находящимися на одинаковом расстоянии $T$ друг от друга. На эту плоскость случайным образом бросается игла длиной $L$. Требуется найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых. Для простоты будем рассматривать случай, когда длина иглы не превышает расстояния между линиями, то есть $L \le T$.

Положение иглы на плоскости можно однозначно определить двумя параметрами:

1. Расстояние $x$ от центра иглы до ближайшей параллельной прямой. Так как положение иглы случайно, можно считать, что $x$ — это случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0, T/2]$.
2. Угол $\theta$ между иглой и направлением параллельных прямых. Считаем, что $\theta$ — это случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0, \pi]$.

Пространство всех возможных исходов можно представить в виде прямоугольника в системе координат $(\theta, x)$ с границами $0 \le \theta \le \pi$ и $0 \le x \le T/2$. Площадь этого прямоугольника (мера пространства всех исходов) равна: $S_{total} = \pi \cdot \frac{T}{2} = \frac{\pi T}{2}$

Теперь определим, при каком условии игла пересечет прямую. Проекция половины иглы на перпендикуляр к параллельным прямым равна $\frac{L}{2}\sin\theta$. Игла пересечет прямую, если расстояние от ее центра до этой прямой $x$ будет меньше или равно длине этой проекции. То есть, условие пересечения: $x \le \frac{L}{2}\sin\theta$

Это неравенство определяет область благоприятных исходов в нашем пространстве параметров $(\theta, x)$. Вероятность пересечения, согласно определению геометрической вероятности, будет равна отношению площади области благоприятных исходов к общей площади пространства исходов.

Ответ: Вероятность пересечения иглой прямой определяется как отношение площади области, заданной неравенством $x \le \frac{L}{2}\sin\theta$ на плоскости параметров $(\theta, x)$, к общей площади прямоугольника $S_{total} = \frac{\pi T}{2}$, где $x \in [0, T/2]$ и $\theta \in [0, \pi]$.

Вывод формулы вероятности с помощью интеграла

Чтобы найти площадь области благоприятных исходов $S_{fav}$, нужно проинтегрировать функцию, ограничивающую эту область сверху, $x = \frac{L}{2}\sin\theta$, по переменной $\theta$ в пределах от $0$ до $\pi$:

$S_{fav} = \int_{0}^{\pi} \frac{L}{2}\sin\theta \,d\theta$

Вычислим этот определенный интеграл:

$S_{fav} = \frac{L}{2} \int_{0}^{\pi} \sin\theta \,d\theta = \frac{L}{2} [-\cos\theta]_{0}^{\pi} = \frac{L}{2} (-\cos(\pi) - (-\cos(0))) = \frac{L}{2} (-(-1) - (-1)) = \frac{L}{2} (1 + 1) = L$

Таким образом, площадь области благоприятных исходов равна длине иглы $L$.

Теперь мы можем найти искомую вероятность $P$ как отношение площадей:

$P = \frac{S_{fav}}{S_{total}} = \frac{L}{\frac{\pi T}{2}} = \frac{2L}{\pi T}$

Это и есть знаменитая формула Бюффона для случая $L \le T$.

Ответ: Вероятность того, что игла длиной $L$ пересечет одну из параллельных прямых, расстояние между которыми равно $T$ (при $L \le T$), вычисляется по формуле $P = \frac{2L}{\pi T}$.

Экспериментальное определение числа $\pi$

Формулу Бюффона можно использовать для экспериментального определения числа $\pi$. Для этого преобразуем полученную формулу, выразив из нее $\pi$:

$\pi = \frac{2L}{P \cdot T}$

Вероятность $P$ можно оценить статистически. Проведем эксперимент: бросим иглу $N$ раз, где $N$ — достаточно большое число. Подсчитаем количество $K$ раз, когда игла пересекла линию. Тогда, согласно закону больших чисел, частота пересечений будет стремиться к теоретической вероятности:

$P \approx \frac{K}{N}$

Подставив это приближенное значение вероятности в нашу формулу для $\pi$, получим формулу для его приближенного расчета:

$\pi \approx \frac{2L}{T} \cdot \frac{N}{K}$

Для удобства эксперимента можно выбрать $L = T/2$. Тогда формула упростится:

$\pi \approx \frac{2(T/2)}{T} \cdot \frac{N}{K} = \frac{T}{T} \cdot \frac{N}{K} = \frac{N}{K}$

Этот метод является примером метода Монте-Карло, который использует случайные испытания для получения численных результатов. Однако для получения хорошей точности числа $\pi$ требуется огромное количество бросков, что делает этот метод практически неэффективным по сравнению с аналитическими методами. Тем не менее, он имеет большое теоретическое значение как связующее звено между теорией вероятностей, геометрией и анализом.

Ответ: Число $\pi$ можно приближенно вычислить на основе эксперимента, используя формулу $\pi \approx \frac{2L N}{T K}$, где $N$ — общее число бросков иглы, а $K$ — число пересечений.