Номер 1, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. В каком случае их называют равносильными?

1. Два уравнения, $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их корней (решений) полностью совпадают.

Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

• Каждый корень первого уравнения $f(x) = g(x)$ является также корнем второго уравнения $p(x) = h(x)$.
• Каждый корень второго уравнения $p(x) = h(x)$ является также корнем первого уравнения $f(x) = g(x)$.

Если обозначить множество корней первого уравнения как $X_1$, а множество корней второго – как $X_2$, то уравнения равносильны тогда и только тогда, когда $X_1 = X_2$.

Важный частный случай: если оба уравнения не имеют корней, то множество решений для каждого из них является пустым множеством ($\emptyset$). Поскольку множества решений в этом случае равны ($\emptyset = \emptyset$), такие уравнения также считаются равносильными.

Примеры:

• Уравнения $x + 5 = 7$ и $3x = 6$ равносильны. Корень первого уравнения $x=2$. Корень второго уравнения также $x=2$. Множества решений совпадают: $\{2\} = \{2\}$.
• Уравнения $x^2 = 4$ и $x = 2$ не являются равносильными. Первое уравнение имеет два корня: $x=2$ и $x=-2$. Второе уравнение имеет только один корень: $x=2$. Множества решений не совпадают: $\{-2, 2\} \neq \{2\}$.
• Уравнения $\frac{1}{x} = 0$ и $x^2 = -1$ (в области действительных чисел) равносильны. Оба уравнения не имеют корней, их множество решений — пустое множество $\emptyset$.

Ответ: Уравнения $f(x)=g(x)$ и $p(x)=h(x)$ называют равносильными, если множества их корней совпадают. Это значит, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и любой корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными между собой.