Номер 7, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Какие вы знаете равносильные преобразования уравнения?

Равносильные (или эквивалентные) преобразования уравнения — это преобразования, которые заменяют исходное уравнение новым, имеющим в точности то же самое множество корней (решений). Применение таких преобразований является основным методом решения уравнений, так как позволяет свести сложное уравнение к одному или нескольким более простым.

К основным равносильным преобразованиям относятся:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный. Это одно из самых частых преобразований. Оно следует из свойства равенства: если к обеим частям равенства прибавить или из них вычесть одно и то же число или выражение, равенство не нарушится. Формально: уравнение вида $f(x) = g(x) + h(x)$ равносильно уравнению $f(x) - h(x) = g(x)$ при условии, что область допустимых значений (ОДЗ) переменной не изменяется.
Пример: Уравнение $5x - 7 = 2x + 8$ равносильно уравнению $5x - 2x = 8 + 7$.
Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Это преобразование также является равносильным, но с важным условием: выражение, на которое производится умножение или деление, не должно обращаться в ноль ни при каких значениях переменной из ОДЗ. Формально: уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) \cdot c = g(x) \cdot c$ (или $f(x) / c = g(x) / c$) при $c \neq 0$. Если умножать на выражение $h(x)$, то оно должно быть определено и не равно нулю ($h(x) \neq 0$) на всей ОДЗ исходного уравнения.
Пример: Уравнение $\frac{1}{3}x = 5$ равносильно уравнению $x = 15$ (обе части умножены на 3). Уравнение $\frac{x^2+1}{x} = \frac{2}{x}$ равносильно уравнению $x^2+1=2$ (обе части умножены на $x$, что требует условия $x \neq 0$, которое уже заложено в ОДЗ исходного уравнения).
Ответ: Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевое число или на выражение, которое определено и отлично от нуля на ОДЗ уравнения, является равносильным преобразованием.

3. Тождественные преобразования одной из частей уравнения. Замена выражения тождественно равным ему (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения и т.д.) является равносильным преобразованием, если при этом не меняется ОДЗ уравнения.
Пример: Уравнение $(x-2)(x+2) = x-2$ равносильно уравнению $x^2 - 4 = x-2$.
Ответ: Применение тождественных преобразований, не изменяющих ОДЗ уравнения, является равносильным преобразованием.

4. Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень. Поскольку функция $y=t^n$ при нечетном $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, это преобразование сохраняет равенство и является равносильным. Формально: уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $(f(x))^{2k+1} = (g(x))^{2k+1}$ для любого натурального $k$.
Пример: Уравнение $\sqrt[3]{x} = -2$ равносильно уравнению $(\sqrt[3]{x})^3 = (-2)^3$, то есть $x = -8$.
Ответ: Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень является равносильным преобразованием.

5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения. Это преобразование, обратное предыдущему, также является равносильным по той же причине монотонности соответствующей функции. Формально: уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $\sqrt[2k+1]{f(x)} = \sqrt[2k+1]{g(x)}$.
Пример: Уравнение $x^5 = 243$ равносильно уравнению $x = \sqrt[5]{243}$, то есть $x=3$.
Ответ: Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения является равносильным преобразованием.

Существуют также преобразования, которые являются равносильными лишь при выполнении определенных условий. Их применение без учета этих условий может привести к потере корней или появлению посторонних.

- Возведение в четную степень. Это преобразование равносильно только тогда, когда обе части уравнения неотрицательны. Уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ (f(x))^2=(g(x))^2 \end{cases}$. В противном случае могут появиться посторонние корни.
Пример: Уравнение $\sqrt{x+2}=x$ равносильно системе $\begin{cases} x \ge 0 \\ x+2=x^2 \end{cases}$.
Ответ: Возведение в четную степень является равносильным преобразованием только при условии неотрицательности обеих частей уравнения.

- Логарифмирование и потенцирование. Переход от уравнения $f(x)=g(x)$ к $\log_a(f(x))=\log_a(g(x))$ равносилен при условии $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. Обратный переход от $\log_a(f(x))=\log_a(g(x))$ к $f(x)=g(x)$ требует учета ОДЗ ($f(x)>0$, $g(x)>0$).
Пример: Уравнение $\log_5(x^2-4) = \log_5(4x-4)$ равносильно системе $\begin{cases} x^2-4=4x-4 \\ 4x-4 > 0 \end{cases}$.
Ответ: Логарифмирование и потенцирование являются равносильными преобразованиями только при строгом учете области допустимых значений.