Номер 4, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти уравнения равносильными?

Для ответа на этот вопрос давайте разберемся в определениях понятий "уравнение-следствие" и "равносильные уравнения".

Пусть даны два уравнения: уравнение 1 и уравнение 2.

Определение 1: Уравнение-следствие
Уравнение 2 называется следствием уравнения 1, если множество корней уравнения 1 является подмножеством множества корней уравнения 2. Иными словами, каждый корень уравнения 1 также является корнем уравнения 2.

Определение 2: Равносильные уравнения
Уравнения 1 и 2 называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают.

Теперь применим эти определения к условию задачи.

Обозначим множество корней первого уравнения $f(x) = g(x)$ как $M_1$.
Обозначим множество корней второго уравнения $p(x) = h(x)$ как $M_2$.

Из условия известно, что уравнение $p(x) = h(x)$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$. Согласно определению 1, это означает, что множество корней первого уравнения является подмножеством множества корней второго: $M_1 \subseteq M_2$

Также из условия известно, что уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$. Это, в свою очередь, означает, что множество корней второго уравнения является подмножеством множества корней первого: $M_2 \subseteq M_1$

В теории множеств два множества A и B считаются равными тогда и только тогда, когда $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$.

Поскольку для наших множеств корней $M_1$ и $M_2$ выполняются оба условия ($M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$), мы можем сделать вывод, что эти множества равны: $M_1 = M_2$

Так как множества решений данных уравнений совпадают, то по определению 2 эти уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, можно. Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то множества их решений совпадают, а это, по определению, означает, что уравнения равносильны.