Страница 233, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. В каком случае их называют равносильными?

1. Два уравнения, $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$, называют равносильными (или эквивалентными), если множества их корней (решений) полностью совпадают.

Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

• Каждый корень первого уравнения $f(x) = g(x)$ является также корнем второго уравнения $p(x) = h(x)$.
• Каждый корень второго уравнения $p(x) = h(x)$ является также корнем первого уравнения $f(x) = g(x)$.

Если обозначить множество корней первого уравнения как $X_1$, а множество корней второго – как $X_2$, то уравнения равносильны тогда и только тогда, когда $X_1 = X_2$.

Важный частный случай: если оба уравнения не имеют корней, то множество решений для каждого из них является пустым множеством ($\emptyset$). Поскольку множества решений в этом случае равны ($\emptyset = \emptyset$), такие уравнения также считаются равносильными.

Примеры:

• Уравнения $x + 5 = 7$ и $3x = 6$ равносильны. Корень первого уравнения $x=2$. Корень второго уравнения также $x=2$. Множества решений совпадают: $\{2\} = \{2\}$.
• Уравнения $x^2 = 4$ и $x = 2$ не являются равносильными. Первое уравнение имеет два корня: $x=2$ и $x=-2$. Второе уравнение имеет только один корень: $x=2$. Множества решений не совпадают: $\{-2, 2\} \neq \{2\}$.
• Уравнения $\frac{1}{x} = 0$ и $x^2 = -1$ (в области действительных чисел) равносильны. Оба уравнения не имеют корней, их множество решений — пустое множество $\emptyset$.

Ответ: Уравнения $f(x)=g(x)$ и $p(x)=h(x)$ называют равносильными, если множества их корней совпадают. Это значит, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и любой корень второго уравнения является корнем первого. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными между собой.

2. Известно, что оба уравнения $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$ не имеют корней. Можно ли назвать их равносильными?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определение равносильных уравнений.

Определение: Два уравнения называются равносильными (или эквивалентными), если множества их решений (корней) полностью совпадают. То есть, любой корень первого уравнения должен быть корнем второго, и любой корень второго уравнения должен быть корнем первого.

Рассмотрим данные в задаче уравнения.

1. Первое уравнение: $f(x) = g(x)$.
По условию, оно не имеет корней. Это означает, что множество его решений является пустым множеством, которое обозначается символом $\emptyset$.

2. Второе уравнение: $p(x) = h(x)$.
По условию, оно также не имеет корней. Следовательно, множество его решений — это тоже пустое множество $\emptyset$.

Теперь сравним множества решений обоих уравнений. Множество решений первого уравнения — $\emptyset$. Множество решений второго уравнения — $\emptyset$. Эти два множества равны между собой.

Поскольку множества решений обоих уравнений совпадают (оба являются пустыми), то, согласно определению, эти уравнения являются равносильными.

Например, уравнения $x^2 + 1 = 0$ и $\sqrt{x} = -5$ не имеют действительных корней. Множество решений для каждого из них — $\emptyset$. Следовательно, эти уравнения равносильны на множестве действительных чисел.

Ответ: Да, можно назвать эти уравнения равносильными, так как множества их решений совпадают (оба являются пустыми множествами).

имеют корней. Можно ли назвать их равносильными?

3. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. В каком случае уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$?

Уравнение $f(x) = g(x)$ называется следствием уравнения $p(x) = h(x)$, если каждый корень уравнения $p(x) = h(x)$ является также и корнем уравнения $f(x) = g(x)$.

Чтобы формализовать это, введем обозначения для множеств решений (корней) каждого уравнения.

Пусть $M_1$ — это множество всех корней уравнения $p(x) = h(x)$. То есть, $M_1 = \{x \mid p(x) = h(x)\}$.

Пусть $M_2$ — это множество всех корней уравнения $f(x) = g(x)$. То есть, $M_2 = \{x \mid f(x) = g(x)\}$.

Тогда, по определению, уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$ в том и только в том случае, если множество решений $M_1$ является подмножеством множества решений $M_2$.

Математически это условие записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Это означает, что для любого числа $x_0$, если оно является решением второго уравнения (то есть $p(x_0) = h(x_0)$), то оно обязательно должно быть и решением первого уравнения (то есть $f(x_0) = g(x_0)$).

При этом в множестве решений $M_2$ могут содержаться корни, которые не являются решениями уравнения $p(x) = h(x)$. Такие корни называются "посторонними" по отношению к исходному уравнению $p(x) = h(x)$. Переход к уравнению-следствию — это одна из причин появления посторонних корней при решении уравнений.

Например, уравнение $x^2 = 25$ является следствием уравнения $x = 5$. Множество решений уравнения $x=5$ это $M_1 = \{5\}$. Множество решений уравнения $x^2=25$ это $M_2 = \{-5, 5\}$. Поскольку $\{5\} \subseteq \{-5, 5\}$, условие выполняется.

Ответ: Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$ в том случае, когда множество всех корней уравнения $p(x) = h(x)$ является подмножеством множества всех корней уравнения $f(x) = g(x)$.

4. Даны два уравнения: $f(x) = g(x)$ и $p(x) = h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти уравнения равносильными?

Для ответа на этот вопрос давайте разберемся в определениях понятий "уравнение-следствие" и "равносильные уравнения".

Пусть даны два уравнения: уравнение 1 и уравнение 2.

Определение 1: Уравнение-следствие
Уравнение 2 называется следствием уравнения 1, если множество корней уравнения 1 является подмножеством множества корней уравнения 2. Иными словами, каждый корень уравнения 1 также является корнем уравнения 2.

Определение 2: Равносильные уравнения
Уравнения 1 и 2 называются равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают.

Теперь применим эти определения к условию задачи.

Обозначим множество корней первого уравнения $f(x) = g(x)$ как $M_1$.
Обозначим множество корней второго уравнения $p(x) = h(x)$ как $M_2$.

Из условия известно, что уравнение $p(x) = h(x)$ является следствием уравнения $f(x) = g(x)$. Согласно определению 1, это означает, что множество корней первого уравнения является подмножеством множества корней второго: $M_1 \subseteq M_2$

Также из условия известно, что уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием уравнения $p(x) = h(x)$. Это, в свою очередь, означает, что множество корней второго уравнения является подмножеством множества корней первого: $M_2 \subseteq M_1$

В теории множеств два множества A и B считаются равными тогда и только тогда, когда $A \subseteq B$ и $B \subseteq A$.

Поскольку для наших множеств корней $M_1$ и $M_2$ выполняются оба условия ($M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$), мы можем сделать вывод, что эти множества равны: $M_1 = M_2$

Так как множества решений данных уравнений совпадают, то по определению 2 эти уравнения являются равносильными.

Ответ: Да, можно. Если каждое из двух уравнений является следствием другого, то множества их решений совпадают, а это, по определению, означает, что уравнения равносильны.

5. Опишите три основных этапа решения уравнения с одной переменной.

Решение уравнения с одной переменной — это процесс, который можно разбить на три последовательных логических этапа.

Этап 1. Преобразование уравнения и определение Области допустимых значений (ОДЗ)

Цель этого этапа — привести исходное, возможно сложное, уравнение к более простому, стандартному виду. Это достигается с помощью тождественных преобразований, таких как: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, избавление от знаменателей (путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель) и перенос всех членов в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$. Одновременно с этим необходимо определить Область допустимых значений (ОДЗ) — множество всех значений переменной $x$, при которых исходное уравнение имеет смысл. Например, в уравнении $\frac{\sqrt{x}}{x-2} = 1$ ОДЗ определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$) и знаменатель не должен равняться нулю ($x-2 \ne 0$). Следовательно, ОДЗ: $x \in [0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: На первом этапе уравнение упрощают и определяют область, в которой могут находиться его корни (ОДЗ).

Этап 2. Решение упрощенного уравнения

На втором этапе решается уравнение, полученное после преобразований. В зависимости от его вида применяются соответствующие методы и формулы. Например, для линейного уравнения вида $ax+b=0$ решение находится как $x = -b/a$ (при $a \neq 0$), а для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ корни находят по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Для более сложных уравнений используются специальные приемы, такие как разложение на множители или метод замены переменной. В результате этого этапа мы получаем один или несколько "кандидатов" в корни уравнения.

Ответ: На втором этапе, используя стандартные алгоритмы и формулы, находят все возможные решения упрощенного уравнения.

Этап 3. Проверка корней и формирование ответа

Это заключительный и критически важный этап, на котором отсеиваются посторонние корни — значения, которые являются решениями упрощенного уравнения, но не исходного. Такие корни могут появиться из-за неэквивалентных преобразований, например, при возведении обеих частей уравнения в четную степень. Проверка выполняется двумя основными способами. Во-первых, это проверка по ОДЗ: все найденные корни сравниваются с областью допустимых значений, и те, что не входят в ОДЗ, отбрасываются. Во-вторых, это подстановка в исходное уравнение, что является самым надежным методом. Каждый оставшийся корень подставляется в самое начальное уравнение, и если получается верное числовое равенство, корень считается действительным решением. После завершения проверки формируется окончательный ответ.

Ответ: На третьем этапе найденные корни проверяются на соответствие ОДЗ и/или путем подстановки в исходное уравнение, после чего записывается итоговый ответ.

6. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$?

Областью определения уравнения $f(x) = g(x)$, или, как ее еще называют, областью допустимых значений переменной (ОДЗ), называется множество всех значений переменной $x$, при которых обе части уравнения имеют смысл. Это означает, что для любого значения $x$ из ОДЗ должны быть определены и функция $f(x)$, стоящая в левой части уравнения, и функция $g(x)$, стоящая в правой части.

Для нахождения ОДЗ уравнения необходимо найти область определения каждой из функций $f(x)$ и $g(x)$ по отдельности, а затем найти их общее множество, то есть пересечение. Если обозначить область определения функции $f$ как $D(f)$, а область определения функции $g$ как $D(g)$, то ОДЗ уравнения можно записать в виде: $ОДЗ = D(f) \cap D(g)$.

Определение ОДЗ является критически важным шагом при решении уравнений, содержащих операции, которые определены не для всех действительных чисел. Любой корень, найденный в результате преобразований уравнения, должен быть проверен на принадлежность к ОДЗ. Если корень не входит в ОДЗ, он является посторонним и должен быть исключен из ответа.

Наиболее часто встречающиеся ограничения, которые формируют ОДЗ:

1. Деление на ноль: Если в уравнении присутствует дробное выражение вида $\frac{A(x)}{B(x)}$, то знаменатель не может быть равен нулю: $B(x) \neq 0$.

2. Корень четной степени: Выражение, стоящее под знаком корня четной степени (например, квадратного $\sqrt{\dots}$), должно быть неотрицательным. Для $\sqrt[2n]{A(x)}$ должно выполняться условие $A(x) \geq 0$.

3. Логарифмы: Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным, а основание логарифма — положительным и не равным единице. Для $\log_{a(x)}(B(x))$ должны выполняться условия: $B(x) > 0$, $a(x) > 0$ и $a(x) \neq 1$.

4. Тригонометрические функции: Некоторые тригонометрические функции имеют ограничения. Например, $\text{tg}(x)$ не определен при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, а $\text{ctg}(x)$ не определен при $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

Таким образом, ОДЗ — это "фильтр", который отсеивает значения переменной, при которых исходное уравнение теряет математический смысл.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) уравнения $f(x) = g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых имеют смысл (определены) обе части этого уравнения: и выражение $f(x)$, и выражение $g(x)$.

7. Какие вы знаете равносильные преобразования уравнения?

Равносильные (или эквивалентные) преобразования уравнения — это преобразования, которые заменяют исходное уравнение новым, имеющим в точности то же самое множество корней (решений). Применение таких преобразований является основным методом решения уравнений, так как позволяет свести сложное уравнение к одному или нескольким более простым.

К основным равносильным преобразованиям относятся:

1. Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую с изменением знака на противоположный. Это одно из самых частых преобразований. Оно следует из свойства равенства: если к обеим частям равенства прибавить или из них вычесть одно и то же число или выражение, равенство не нарушится. Формально: уравнение вида $f(x) = g(x) + h(x)$ равносильно уравнению $f(x) - h(x) = g(x)$ при условии, что область допустимых значений (ОДЗ) переменной не изменяется.
Пример: Уравнение $5x - 7 = 2x + 8$ равносильно уравнению $5x - 2x = 8 + 7$.
Ответ: Перенос любого слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком является равносильным преобразованием.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Это преобразование также является равносильным, но с важным условием: выражение, на которое производится умножение или деление, не должно обращаться в ноль ни при каких значениях переменной из ОДЗ. Формально: уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $f(x) \cdot c = g(x) \cdot c$ (или $f(x) / c = g(x) / c$) при $c \neq 0$. Если умножать на выражение $h(x)$, то оно должно быть определено и не равно нулю ($h(x) \neq 0$) на всей ОДЗ исходного уравнения.
Пример: Уравнение $\frac{1}{3}x = 5$ равносильно уравнению $x = 15$ (обе части умножены на 3). Уравнение $\frac{x^2+1}{x} = \frac{2}{x}$ равносильно уравнению $x^2+1=2$ (обе части умножены на $x$, что требует условия $x \neq 0$, которое уже заложено в ОДЗ исходного уравнения).
Ответ: Умножение или деление обеих частей уравнения на ненулевое число или на выражение, которое определено и отлично от нуля на ОДЗ уравнения, является равносильным преобразованием.

3. Тождественные преобразования одной из частей уравнения. Замена выражения тождественно равным ему (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, применение формул сокращенного умножения и т.д.) является равносильным преобразованием, если при этом не меняется ОДЗ уравнения.
Пример: Уравнение $(x-2)(x+2) = x-2$ равносильно уравнению $x^2 - 4 = x-2$.
Ответ: Применение тождественных преобразований, не изменяющих ОДЗ уравнения, является равносильным преобразованием.

4. Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень. Поскольку функция $y=t^n$ при нечетном $n$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, это преобразование сохраняет равенство и является равносильным. Формально: уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $(f(x))^{2k+1} = (g(x))^{2k+1}$ для любого натурального $k$.
Пример: Уравнение $\sqrt[3]{x} = -2$ равносильно уравнению $(\sqrt[3]{x})^3 = (-2)^3$, то есть $x = -8$.
Ответ: Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную натуральную степень является равносильным преобразованием.

5. Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения. Это преобразование, обратное предыдущему, также является равносильным по той же причине монотонности соответствующей функции. Формально: уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно уравнению $\sqrt[2k+1]{f(x)} = \sqrt[2k+1]{g(x)}$.
Пример: Уравнение $x^5 = 243$ равносильно уравнению $x = \sqrt[5]{243}$, то есть $x=3$.
Ответ: Извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения является равносильным преобразованием.

Существуют также преобразования, которые являются равносильными лишь при выполнении определенных условий. Их применение без учета этих условий может привести к потере корней или появлению посторонних.

- Возведение в четную степень. Это преобразование равносильно только тогда, когда обе части уравнения неотрицательны. Уравнение $f(x)=g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ (f(x))^2=(g(x))^2 \end{cases}$. В противном случае могут появиться посторонние корни.
Пример: Уравнение $\sqrt{x+2}=x$ равносильно системе $\begin{cases} x \ge 0 \\ x+2=x^2 \end{cases}$.
Ответ: Возведение в четную степень является равносильным преобразованием только при условии неотрицательности обеих частей уравнения.

- Логарифмирование и потенцирование. Переход от уравнения $f(x)=g(x)$ к $\log_a(f(x))=\log_a(g(x))$ равносилен при условии $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. Обратный переход от $\log_a(f(x))=\log_a(g(x))$ к $f(x)=g(x)$ требует учета ОДЗ ($f(x)>0$, $g(x)>0$).
Пример: Уравнение $\log_5(x^2-4) = \log_5(4x-4)$ равносильно системе $\begin{cases} x^2-4=4x-4 \\ 4x-4 > 0 \end{cases}$.
Ответ: Логарифмирование и потенцирование являются равносильными преобразованиями только при строгом учете области допустимых значений.

8. Какие вы знаете неравносильные преобразования уравнения?

Неравносильные (неэквивалентные) преобразования уравнения — это такие преобразования, которые изменяют множество корней исходного уравнения. В результате таких преобразований могут появиться посторонние корни (расширение множества решений) или, наоборот, может произойти потеря корней (сужение множества решений).

Рассмотрим основные виды неравносильных преобразований.

1. Возведение обеих частей уравнения в четную степень

Это преобразование является следствием, а не равносильным переходом. Из верного равенства $A=B$ следует верное равенство $A^2=B^2$, но из $A^2=B^2$ следует, что $A=B$ или $A=-B$. Таким образом, при возведении в квадрат могут появиться посторонние корни, которые удовлетворяют уравнению $A=-B$.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x+7} = x+1$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+7})^2 = (x+1)^2$

$x+7 = x^2 + 2x + 1$

$x^2 + x - 6 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение:

Для $x_1=2$: $\sqrt{2+7} = 2+1 \implies \sqrt{9} = 3 \implies 3=3$. Корень верный.

Для $x_2=-3$: $\sqrt{-3+7} = -3+1 \implies \sqrt{4} = -2 \implies 2=-2$. Равенство неверное, следовательно, $x=-3$ — посторонний корень.

Ответ: Возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести к появлению посторонних корней. После такого преобразования обязательна проверка найденных корней или учет области допустимых значений (ОДЗ).

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную

При умножении обеих частей уравнения на выражение $g(x)$ могут появиться посторонние корни — те, которые обращают $g(x)$ в нуль. При делении на выражение $g(x)$ можно потерять корни, которые являются решениями уравнения $g(x)=0$.

Пример (потеря корня при делении):

Рассмотрим уравнение $x^2 = 5x$.

Если разделить обе части на $x$, мы получим $x=5$. При этом будет потерян корень $x=0$, который также является решением исходного уравнения ($0^2 = 5 \cdot 0$). Правильное решение — перенести все в одну часть и вынести общий множитель: $x^2 - 5x = 0 \implies x(x-5)=0$, откуда $x=0$ или $x=5$.

Пример (приобретение корня при умножении):

Рассмотрим уравнение $\frac{x^2}{x-3} = \frac{9}{x-3}$.

Если умножить обе части на $(x-3)$, мы получим $x^2 = 9$, откуда $x=3$ и $x=-3$. Однако корень $x=3$ является посторонним, так как он обращает в нуль знаменатель в исходном уравнении, что недопустимо.

Ответ: Умножение уравнения на выражение с переменной может добавить посторонние корни. Деление на выражение с переменной может привести к потере корней. Такие преобразования требуют последующей проверки или учета ОДЗ.

3. Неправильное сокращение дробей или освобождение от знаменателя

Это частный случай предыдущего пункта. При умножении на общий знаменатель для избавления от дробей могут появиться посторонние корни, которые обращают этот знаменатель в ноль.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\frac{1}{x-2} + x = 2 + \frac{1}{x-2}$.

Если "сократить" дробь $\frac{1}{x-2}$ в обеих частях, мы получим $x=2$. Но этот корень является посторонним, так как при $x=2$ знаменатель исходной дроби равен нулю. На самом деле, после переноса всех членов в одну часть $\left(\frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-2}\right) + x - 2 = 0$ и учета ОДЗ ($x \neq 2$), уравнение принимает вид $x-2=0$, что при условии $x \neq 2$ не имеет решений.

Ответ: Освобождение от знаменателя путем домножения на него является преобразованием-следствием и требует обязательной проверки корней или исключения значений, обращающих знаменатель в ноль.

4. Некорректное извлечение корня четной степени

При переходе от уравнения вида $f^2(x) = g^2(x)$ к уравнению $f(x)=g(x)$ происходит потеря корней, которые являются решениями уравнения $f(x) = -g(x)$. Правильный равносильный переход: $f^2(x) = g^2(x) \iff |f(x)| = |g(x)| \iff \left[\begin{array}{l} f(x) = g(x) \\ f(x) = -g(x) \end{array}\right.$.

Пример:

Рассмотрим уравнение $(2x-1)^2 = (x+3)^2$.

Если извлечь квадратный корень и записать $2x-1 = x+3$, получим $x=4$.

Однако мы потеряли решения уравнения $2x-1 = -(x+3)$.

$2x-1 = -x-3 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$.

Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: $x=4$ и $x=-\frac{2}{3}$.

Ответ: Извлечение корня четной степени из обеих частей уравнения без учета знака (без модуля) приводит к потере корней.

5. Потенцирование и логарифмирование

При логарифмировании обеих частей уравнения $f(x)=g(x)$ мы переходим к $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$. Это преобразование сужает область допустимых значений, так как накладывает условия $f(x)>0$ и $g(x)>0$. В результате можно потерять корни, для которых $f(x) \le 0$.
При потенцировании (переход от $\log_a(f(x)) = \log_a(g(x))$ к $f(x)=g(x)$) происходит расширение ОДЗ. Исходное уравнение имело ограничения $f(x)>0$ и $g(x)>0$, а полученное может их не иметь, что может привести к появлению посторонних корней.

Пример (логарифмирование):

Уравнение $x=-5$ имеет очевидный корень. Если мы его "прологарифмируем" по основанию 10, то получим $\log_{10}(x)=\log_{10}(-5)$. Новое уравнение не имеет решений в действительных числах, так как логарифм отрицательного числа не определен. Корень $x=-5$ был потерян.

Пример (потенцирование):

Рассмотрим уравнение $\log_2(x^2) = 4$.

Выполним потенцирование: $x^2 = 2^4 \implies x^2=16$, откуда $x=4$ и $x=-4$. Оба корня подходят, так как $x^2$ будет положительным.Но если бы уравнение было $2\log_2(x) = 4$, то сначала нужно было бы учесть ОДЗ: $x>0$. Тогда $\log_2(x)=2$, и $x=2^2=4$. Корень $x=-4$ был бы посторонним.

Ответ: Логарифмирование может привести к потере корней за счет сужения ОДЗ. Потенцирование может привести к появлению посторонних корней за счет расширения ОДЗ. Необходимо всегда следить за областью допустимых значений.

9. Объясните, почему при переходе от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни.

Переход от уравнения $f(x) = g(x)$ к уравнению $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является не равносильным преобразованием, а переходом к уравнению-следствию. Это означает, что все корни исходного уравнения будут являться корнями нового уравнения, но новое уравнение может иметь дополнительные корни, которые не являются решениями исходного. Такие корни называются посторонними.

Причина появления посторонних корней заключается в том, что операция возведения в квадрат устраняет информацию о знаке выражений. Рассмотрим уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$. Перенесем все в левую часть:
$(f(x))^2 - (g(x))^2 = 0$
Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получим:
$(f(x) - g(x))(f(x) + g(x)) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, это уравнение распадается на совокупность двух уравнений:
1. $f(x) - g(x) = 0$, что равносильно исходному уравнению $f(x) = g(x)$.
2. $f(x) + g(x) = 0$, что равносильно уравнению $f(x) = -g(x)$.

Таким образом, множество решений уравнения $(f(x))^2 = (g(x))^2$ является объединением множеств решений уравнений $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни второго уравнения, которые не являются корнями первого, и есть те самые посторонние корни.

Пример:
Рассмотрим иррациональное уравнение $\sqrt{x+7} = x+1$.
Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+7})^2 = (x+1)^2$
$x+7 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 + x - 6 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.
1. Проверка для $x=2$:
$\sqrt{2+7} = 2+1$
$\sqrt{9} = 3$
$3 = 3$ (Верно). Значит, $x=2$ является корнем исходного уравнения.

2. Проверка для $x=-3$:
$\sqrt{-3+7} = -3+1$
$\sqrt{4} = -2$
$2 = -2$ (Неверно). Значит, $x=-3$ является посторонним корнем. Он является решением уравнения $\sqrt{x+7} = -(x+1)$, но не исходного.

Ответ: При возведении обеих частей уравнения $f(x) = g(x)$ в квадрат получается уравнение $(f(x))^2 = (g(x))^2$, которое является следствием исходного. Это новое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$. Корни уравнения $f(x) = -g(x)$, не являющиеся одновременно корнями уравнения $f(x) = g(x)$, и есть посторонние корни.

10. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

Переход от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ осуществляется путем возведения обеих частей уравнения в квадрат. Это преобразование не является равносильным, так как оно может расширять область допустимых значений (ОДЗ) и, как следствие, приводить к появлению посторонних корней.

Рассмотрим это подробнее:

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ область допустимых значений определяется условиями существования арифметических квадратных корней. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Следовательно, ОДЗ задается системой неравенств:

$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) \ge 0\end{cases}$$

Для уравнения $f(x) = g(x)$, полученного после возведения в квадрат, таких ограничений нет. Его ОДЗ определяется только областями определения самих функций $f(x)$ и $g(x)$, и она, как правило, шире, чем ОДЗ исходного уравнения.

2. Причина появления посторонних корней

Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием не только уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$, но и уравнения $\sqrt{f(x)} = -\sqrt{g(x)}$ (которое не имеет решений, так как арифметический корень всегда неотрицателен), а также является верным равенством в случае, когда $f(x)$ и $g(x)$ оба отрицательны.

Проблема возникает именно в последнем случае. Если найдется такое значение $x_0$, при котором $f(x_0) = g(x_0)$, но при этом $f(x_0) < 0$ (и, соответственно, $g(x_0) < 0$), то $x_0$ будет корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Однако $x_0$ не будет корнем исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$, так как при этом значении подкоренные выражения отрицательны, и корни $\sqrt{f(x_0)}$ и $\sqrt{g(x_0)}$ не определены в области действительных чисел. Такие корни и называются посторонними.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2x + 3} = \sqrt{4x + 1}$.

1. Возведем обе части в квадрат:

$2x + 3 = 4x + 1$

$2 = 2x$

$x = 1$

2. Теперь проверим, является ли $x=1$ корнем исходного уравнения. Для этого можно либо найти ОДЗ, либо просто подставить найденный корень в исходное уравнение.

ОДЗ исходного уравнения:

$$\begin{cases}2x + 3 \ge 0 \implies x \ge -1.5 \\4x + 1 \ge 0 \implies x \ge -0.25\end{cases}$$

Общая ОДЗ: $x \ge -0.25$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge -0.25$), поэтому он является действительным корнем. В данном случае посторонних корней не появилось.

Пример с появлением постороннего корня:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x-2} = \sqrt{3x-8}$.

1. Возведем обе части в квадрат:

$x - 2 = 3x - 8$

$6 = 2x$

$x = 3$

Кажется, что это корень. Но теперь рассмотрим другой пример, где корень будет посторонним. Пусть уравнение будет $\sqrt{x-5} = \sqrt{1-x}$.

1. Возводим в квадрат:

$x - 5 = 1 - x$

$2x = 6$

$x = 3$

2. Проверяем корень $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3-5} = \sqrt{1-3}$

$\sqrt{-2} = \sqrt{-2}$

Поскольку подкоренные выражения отрицательны, квадратные корни не определены. Значит, $x=3$ не является решением исходного уравнения, это посторонний корень. Он появился, потому что для $x=3$ выполняется равенство $f(x)=g(x)$, но не выполняются условия $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Ответ: При переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ путем возведения в квадрат, мы получаем уравнение-следствие. Это новое уравнение может иметь решения, при которых $f(x)$ и $g(x)$ отрицательны. Такие решения не входят в область допустимых значений исходного уравнения, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определен. Эти "лишние" решения и являются посторонними корнями.

11. Объясните, почему при переходе от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

При переходе от уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни из-за расширения области допустимых значений (ОДЗ).

1. Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения

Исходное уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ имеет смысл только тогда, когда выполнены следующие условия, составляющие его ОДЗ:

• Основание логарифма $a > 0$ и $a \neq 1$.
• Аргумент первого логарифма строго больше нуля: $f(x) > 0$.
• Аргумент второго логарифма строго больше нуля: $g(x) > 0$.

Таким образом, ОДЗ исходного уравнения определяется системой неравенств: $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$.

2. Область допустимых значений уравнения-следствия

Уравнение $f(x) = g(x)$, полученное в результате потенцирования (избавления от логарифмов), является следствием исходного. Для этого уравнения не существует требования, чтобы функции $f(x)$ и $g(x)$ были положительными. Оно имеет смысл для всех $x$, при которых $f(x)$ и $g(x)$ определены и равны, в том числе и для тех $x$, при которых $f(x) = g(x) \le 0$.

3. Причина появления посторонних корней

Поскольку ОДЗ уравнения-следствия $f(x) = g(x)$ шире, чем ОДЗ исходного логарифмического уравнения, оно может иметь корни, которые не удовлетворяют первоначальным условиям $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Такие корни, при которых $f(x) = g(x) \le 0$, и являются посторонними для исходного уравнения, так как при их подстановке аргументы логарифмов становятся отрицательными или равными нулю, что недопустимо.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\log_3(x^2 - 10) = \log_3(3x)$.

ОДЗ исходного уравнения:

$\begin{cases} x^2 - 10 > 0 \\ 3x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -\sqrt{10} \text{ или } x > \sqrt{10} \\ x > 0 \end{cases} \implies x > \sqrt{10}$.

Решение уравнения-следствия:

Переходим к уравнению $x^2 - 10 = 3x$.

$x^2 - 3x - 10 = 0$.

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверка корней:

• Корень $x_1 = 5$. Проверяем, входит ли он в ОДЗ: $5 > \sqrt{10}$ (так как $25 > 10$). Корень подходит.
• Корень $x_2 = -2$. Проверяем, входит ли он в ОДЗ: $-2 > \sqrt{10}$. Это неверно. Следовательно, $x_2 = -2$ — посторонний корень.

При $x = -2$ мы получаем $f(-2) = (-2)^2 - 10 = 4 - 10 = -6$ и $g(-2) = 3(-2) = -6$. Хотя $f(-2) = g(-2)$, оба значения отрицательны, и логарифмы $\log_3(-6)$ не определены.

Ответ: При переходе от уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ происходит расширение области допустимых значений. Уравнение-следствие $f(x) = g(x)$ допускает решения, при которых $f(x)$ и $g(x)$ могут быть отрицательными или равными нулю, в то время как для исходного логарифмического уравнения требуется, чтобы $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. Корни, не удовлетворяющие этим условиям, являются посторонними.

12. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни, а переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^3$ является равносильным преобразованием.

Объясните, почему при переходе от уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ к уравнению $ f(x) = (g(x))^2 $ могут появиться посторонние корни

Рассмотрим исходное уравнение $ \sqrt{f(x)} = g(x) $.

1. По определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным. Это означает, что левая часть уравнения, $ \sqrt{f(x)} $, всегда больше или равна нулю. Следовательно, и правая часть уравнения должна удовлетворять этому условию: $ g(x) \ge 0 $.

2. Также, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $ f(x) \ge 0 $.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $

(Условие $ f(x) \ge 0 $ здесь выполняется автоматически, так как $ (g(x))^2 \ge 0 $ для любых $ x $).

Когда мы возводим обе части исходного уравнения в квадрат, мы переходим к уравнению $ f(x) = (g(x))^2 $. При этом преобразовании теряется важное условие $ g(x) \ge 0 $.

Уравнение $ f(x) = (g(x))^2 $ является следствием не только исходного уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $, но и уравнения $ \sqrt{f(x)} = -g(x) $. То есть, уравнение $ f(x) = (g(x))^2 $ равносильно совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{gathered} \sqrt{f(x)} = g(x) \\ \sqrt{f(x)} = -g(x) \end{gathered} \right. $

Поэтому среди корней уравнения $ f(x) = (g(x))^2 $ могут оказаться такие значения $ x $, для которых $ g(x) < 0 $. Эти значения будут удовлетворять уравнению $ \sqrt{f(x)} = -g(x) $, но не будут являться корнями исходного уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $. Такие корни называются посторонними.

Ответ: При возведении в квадрат уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ происходит расширение области допустимых значений для функции $ g(x) $. Теряется требование $ g(x) \ge 0 $, из-за чего в решении могут появиться корни, для которых $ g(x) < 0 $, что противоречит определению арифметического квадратного корня.

Объясните, почему переход от уравнения $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $ к уравнению $ f(x) = (g(x))^3 $ является равносильным преобразованием

Рассмотрим уравнение $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $.

1. Функция кубического корня $ y = \sqrt[3]{a} $ определена для любых действительных чисел $ a $. Это значит, что на выражение $ f(x) $ не накладывается никаких ограничений по знаку.

2. Значение кубического корня может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю. Следовательно, на функцию $ g(x) $ также не накладывается никаких ограничений по знаку.

Функция возведения в куб $ y = x^3 $ является взаимно однозначной для всех действительных чисел. Это означает, что для каждого значения $ y $ существует ровно одно значение $ x $, и наоборот. Иными словами, равенство $ a = b $ истинно тогда и только тогда, когда истинно равенство $ a^3 = b^3 $.

Поэтому, если мы возведем обе части уравнения $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $ в куб, мы получим уравнение $ (\sqrt[3]{f(x)})^3 = (g(x))^3 $, которое упрощается до $ f(x) = (g(x))^3 $.

Это преобразование является равносильным, потому что из уравнения $ f(x) = (g(x))^3 $ можно однозначно вернуться к исходному, извлекая кубический корень из обеих частей: $ \sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{(g(x))^3} $, что равносильно $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $.

Поскольку при переходе от одного уравнения к другому и обратно мы не теряем и не приобретаем никаких корней, эти уравнения являются равносильными, и появление посторонних корней невозможно.

Ответ: Переход от уравнения $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $ к $ f(x) = (g(x))^3 $ является равносильным преобразованием, так как функция возведения в куб $ y = x^3 $ является строго монотонной и взаимно однозначной на всей числовой оси. Это преобразование не накладывает и не снимает никаких ограничений на переменные, поэтому множества решений исходного и преобразованного уравнений совпадают.

13. Укажите основные причины возможной потери корней при решении уравнений с одной переменной.

Потеря корней при решении уравнений с одной переменной может происходить из-за выполнения неэквивалентных (неравносильных) преобразований, которые сужают область определения уравнения или не учитывают все возможные случаи. Ниже приведены основные причины.

1. Деление обеих частей уравнения на выражение, содержащее переменную

Это одна из самых частых ошибок. Делить обе части уравнения на выражение $g(x)$ можно только в том случае, если мы уверены, что $g(x) \neq 0$ на всей области допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Если же существуют значения переменной $x$, при которых $g(x) = 0$, то эти значения могут быть корнями исходного уравнения, и при делении они будут потеряны.

Пример: Решить уравнение $x^2 + 5x = 0$.

Решение с потерей корня: Разделим обе части уравнения на $x$.

$ \frac{x^2 + 5x}{x} = \frac{0}{x} $

$ x + 5 = 0 $

$ x = -5 $

При таком решении был потерян корень $x=0$, который обращает в ноль делитель.

Правильное решение: Вместо деления следует использовать метод разложения на множители.

$ x^2 + 5x = 0 $

$ x(x + 5) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$ x = 0 $ или $ x + 5 = 0 $

$ x_1 = 0, x_2 = -5 $

Ответ: Правильный метод — вынесение общего множителя за скобки, что позволяет избежать деления на выражение с переменной и сохранить все корни уравнения. В данном примере были бы потеряны корни, обращающие в ноль выражение, на которое производилось деление.

2. Применение тождеств и формул, сужающих область допустимых значений (ОДЗ)

Некоторые преобразования, которые кажутся верными (например, свойства логарифмов или корней), на самом деле являются тождествами только при определенных ограничениях. Их применение без учета этих ограничений может привести к сужению ОДЗ и, как следствие, к потере корней.

Пример: Решить уравнение $\log_3 (x-4)^2 = 2$.

Решение с потерей корня: Применим свойство логарифма степени $\log_a b^p = p \log_a b$.

$ 2\log_3 (x-4) = 2 $

$ \log_3 (x-4) = 1 $

Это преобразование не равносильно исходному, так как оно сужает ОДЗ. Исходное уравнение имеет ОДЗ: $(x-4)^2 > 0$, то есть $x \neq 4$. Преобразованное уравнение имеет более строгую ОДЗ: $x-4 > 0$, то есть $x > 4$.

Решая второе уравнение, получаем: $x-4 = 3^1 \implies x=7$.

При этом теряется корень, который не удовлетворяет условию $x>4$, но удовлетворяет условию $x \neq 4$.

Правильное решение: Следует использовать определение логарифма или правильную формулу $\log_a b^{2k} = 2k \log_a|b|$.

Способ 1: По определению логарифма.

$ (x-4)^2 = 3^2 $

$ (x-4)^2 = 9 $

$ x-4 = 3 $ или $ x-4 = -3 $

$ x_1 = 7, x_2 = 1 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения ($x \neq 4$).

Способ 2: С использованием модуля.

$ 2\log_3 |x-4| = 2 \implies \log_3 |x-4| = 1 \implies |x-4|=3 $. Это также приводит к двум корням: $x=7$ и $x=1$.

Ответ: Потеря корня произошла из-за применения свойства логарифма без учета того, что оно сужает ОДЗ. Корректное применение формул ($\log_a b^2 = 2\log_a|b|$) или решение по определению логарифма позволяет найти все корни.

3. Извлечение корня четной степени без учета модуля

При решении уравнений вида $(f(x))^2 = C$ (где $C>0$) или $(f(x))^2 = (g(x))^2$ необходимо помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Ошибка заключается в том, что вместо $|f(x)| = \sqrt{C}$ пишут $f(x) = \sqrt{C}$, теряя решения уравнения $f(x) = -\sqrt{C}$.

Пример: Решить уравнение $(2x-3)^2 = 25$.

Решение с потерей корня: Извлечем квадратный корень из обеих частей.

$ \sqrt{(2x-3)^2} = \sqrt{25} $

$ 2x-3 = 5 $

$ 2x = 8 \implies x = 4 $

В этом решении был учтен только положительный результат извлечения корня.

Правильное решение: При извлечении корня четной степени необходимо учитывать модуль.

$ \sqrt{(2x-3)^2} = \sqrt{25} $

$ |2x-3| = 5 $

Это равносильно совокупности двух уравнений:

$ 2x-3 = 5 $ или $ 2x-3 = -5 $

$ 2x = 8 $ или $ 2x = -2 $

$ x_1 = 4, x_2 = -1 $

Ответ: Потеря корня $x=-1$ произошла из-за некорректного извлечения квадратного корня, которое не учитывало отрицательный случай. Правильное преобразование — использование модуля.

4. Потеря корней при решении тригонометрических уравнений

В тригонометрических уравнениях потеря корней часто происходит из-за деления на тригонометрическую функцию, которая может обращаться в ноль, или из-за применения преобразований, сужающих ОДЗ (например, универсальная тригонометрическая подстановка).

Пример: Решить уравнение $\sin(2x) - \cos x = 0$.

Решение с потерей корня: Раскроем синус двойного угла и разделим на $\cos x$.

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ 2\sin x \cos x = \cos x $

Разделим обе части на $\cos x$, предполагая, что $\cos x \neq 0$.

$ 2\sin x = 1 \implies \sin x = \frac{1}{2} $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

При этом были потеряны корни, для которых $\cos x = 0$.

Правильное решение: Вместо деления следует вынести общий множитель за скобки.

$ 2\sin x \cos x - \cos x = 0 $

$ \cos x (2\sin x - 1) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $2\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2} \implies x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

Объединение этих двух серий корней дает полный ответ.

Ответ: Потеря целой серии корней ($x = \frac{\pi}{2} + \pi k$) произошла из-за деления на выражение $\cos x$, которое может быть равно нулю. Правильный подход — разложение на множители.