Номер 10, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

Переход от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ осуществляется путем возведения обеих частей уравнения в квадрат. Это преобразование не является равносильным, так как оно может расширять область допустимых значений (ОДЗ) и, как следствие, приводить к появлению посторонних корней.

Рассмотрим это подробнее:

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Для исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ область допустимых значений определяется условиями существования арифметических квадратных корней. Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Следовательно, ОДЗ задается системой неравенств:

$$\begin{cases}f(x) \ge 0 \\g(x) \ge 0\end{cases}$$

Для уравнения $f(x) = g(x)$, полученного после возведения в квадрат, таких ограничений нет. Его ОДЗ определяется только областями определения самих функций $f(x)$ и $g(x)$, и она, как правило, шире, чем ОДЗ исходного уравнения.

2. Причина появления посторонних корней

Уравнение $f(x) = g(x)$ является следствием не только уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$, но и уравнения $\sqrt{f(x)} = -\sqrt{g(x)}$ (которое не имеет решений, так как арифметический корень всегда неотрицателен), а также является верным равенством в случае, когда $f(x)$ и $g(x)$ оба отрицательны.

Проблема возникает именно в последнем случае. Если найдется такое значение $x_0$, при котором $f(x_0) = g(x_0)$, но при этом $f(x_0) < 0$ (и, соответственно, $g(x_0) < 0$), то $x_0$ будет корнем уравнения $f(x) = g(x)$. Однако $x_0$ не будет корнем исходного уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$, так как при этом значении подкоренные выражения отрицательны, и корни $\sqrt{f(x_0)}$ и $\sqrt{g(x_0)}$ не определены в области действительных чисел. Такие корни и называются посторонними.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{2x + 3} = \sqrt{4x + 1}$.

1. Возведем обе части в квадрат:

$2x + 3 = 4x + 1$

$2 = 2x$

$x = 1$

2. Теперь проверим, является ли $x=1$ корнем исходного уравнения. Для этого можно либо найти ОДЗ, либо просто подставить найденный корень в исходное уравнение.

ОДЗ исходного уравнения:

$$\begin{cases}2x + 3 \ge 0 \implies x \ge -1.5 \\4x + 1 \ge 0 \implies x \ge -0.25\end{cases}$$

Общая ОДЗ: $x \ge -0.25$.

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge -0.25$), поэтому он является действительным корнем. В данном случае посторонних корней не появилось.

Пример с появлением постороннего корня:

Рассмотрим уравнение $\sqrt{x-2} = \sqrt{3x-8}$.

1. Возведем обе части в квадрат:

$x - 2 = 3x - 8$

$6 = 2x$

$x = 3$

Кажется, что это корень. Но теперь рассмотрим другой пример, где корень будет посторонним. Пусть уравнение будет $\sqrt{x-5} = \sqrt{1-x}$.

1. Возводим в квадрат:

$x - 5 = 1 - x$

$2x = 6$

$x = 3$

2. Проверяем корень $x=3$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{3-5} = \sqrt{1-3}$

$\sqrt{-2} = \sqrt{-2}$

Поскольку подкоренные выражения отрицательны, квадратные корни не определены. Значит, $x=3$ не является решением исходного уравнения, это посторонний корень. Он появился, потому что для $x=3$ выполняется равенство $f(x)=g(x)$, но не выполняются условия $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.

Ответ: При переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ к уравнению $f(x) = g(x)$ путем возведения в квадрат, мы получаем уравнение-следствие. Это новое уравнение может иметь решения, при которых $f(x)$ и $g(x)$ отрицательны. Такие решения не входят в область допустимых значений исходного уравнения, поскольку арифметический квадратный корень из отрицательного числа не определен. Эти "лишние" решения и являются посторонними корнями.