Номер 4, страница 250, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. Известно, что каждое из них является следствием другого. Можно ли назвать эти неравенства равносильными?

Для ответа на этот вопрос необходимо разобраться в определениях понятий "следствие" и "равносильность" применительно к неравенствам.

Пусть $M_1$ — это множество всех решений неравенства $f(x) > g(x)$, а $M_2$ — это множество всех решений неравенства $p(x) < h(x)$.

Утверждение "неравенство $p(x) < h(x)$ является следствием неравенства $f(x) > g(x)$" означает, что любое решение первого неравенства является также решением второго. На языке теории множеств это записывается как $M_1 \subseteq M_2$.

Аналогично, утверждение "неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$" означает, что любое решение второго неравенства является также решением первого. На языке теории множеств это записывается как $M_2 \subseteq M_1$.

В условии задачи сказано, что каждое из неравенств является следствием другого. Это означает, что оба условия, $M_1 \subseteq M_2$ и $M_2 \subseteq M_1$, выполняются одновременно.

Из аксиом теории множеств известно, что если один набор является подмножеством второго, а второй — подмножеством первого, то эти наборы равны. Следовательно, из двух вышеуказанных условий следует, что $M_1 = M_2$.

Два неравенства называются равносильными (или эквивалентными) тогда и только тогда, когда множества их решений совпадают.

Поскольку мы установили, что множества решений данных неравенств равны ($M_1 = M_2$), то по определению эти неравенства являются равносильными.

Ответ: Да, можно. Условие, что каждое из двух неравенств является следствием другого, является определением равносильности этих неравенств.