Номер 5, страница 250, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Что называют областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$?

Областью определения неравенства (также известной как область допустимых значений переменной или ОДЗ) вида $f(x) > g(x)$ называется множество всех значений переменной $x$, при которых обе функции, стоящие в левой ($f(x)$) и правой ($g(x)$) частях неравенства, одновременно определены, то есть имеют смысл.

По сути, для того чтобы сравнивать значения $f(x)$ и $g(x)$, необходимо, чтобы оба этих значения существовали. Поэтому ОДЗ неравенства — это пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.

Математически это можно записать так: если $D(f)$ — это область определения функции $f(x)$, а $D(g)$ — область определения функции $g(x)$, то ОДЗ для неравенства $f(x) > g(x)$ находится как их пересечение:

$ОДЗ = D(f) \cap D(g)$

При нахождении ОДЗ необходимо учитывать все возможные ограничения на переменную $x$:

• Если в выражении есть дробь вида $\frac{A}{B}$, то ее знаменатель не должен быть равен нулю: $B \ne 0$.
• Если в выражении есть корень четной степени $\sqrt[2n]{A}$, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $A \ge 0$.
• Если в выражении есть логарифм $\log_a(B)$, то его аргумент должен быть строго положительным ($B > 0$), а основание — положительным и не равным единице ($a > 0$, $a \ne 1$).

Пример:

Найдем ОДЗ для неравенства $\log_2(x - 1) > \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$.

1. Левая часть $f(x) = \log_2(x - 1)$ определена, когда аргумент логарифма больше нуля:
$x - 1 > 0 \implies x > 1$.
Таким образом, $D(f) = (1, +\infty)$.

2. Правая часть $g(x) = \frac{1}{\sqrt{5 - x}}$ определена, когда выполняются два условия:
а) подкоренное выражение неотрицательно: $5 - x \ge 0 \implies x \le 5$;
б) знаменатель не равен нулю: $\sqrt{5 - x} \ne 0 \implies 5 - x \ne 0 \implies x \ne 5$.
Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным: $5 - x > 0 \implies x < 5$.
Таким образом, $D(g) = (-\infty, 5)$.

3. ОДЗ неравенства является пересечением областей определения $D(f)$ и $D(g)$: $ОДЗ = (1, +\infty) \cap (-\infty, 5) = (1, 5)$.

Значит, ОДЗ данного неравенства — это интервал $(1, 5)$. Решения неравенства могут находиться только в этом интервале.

Ответ: Областью определения (областью допустимых значений переменной — ОДЗ) неравенства $f(x) > g(x)$ называют множество всех значений переменной $x$, при которых имеют смысл (определены) обе части этого неравенства одновременно. ОДЗ находится как пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$.