Номер 7, страница 250, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Какие вы знаете неравносильные преобразования неравенства с одной переменной?

Неравносильные преобразования неравенств с одной переменной — это преобразования, которые приводят к изменению множества решений исходного неравенства. В результате таких преобразований можно либо потерять часть верных решений (сужение множества решений), либо приобрести посторонние решения, не удовлетворяющие исходному неравенству (расширение множества решений).

К основным видам неравносильных преобразований относятся:

1. Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, знак которого неизвестен.

Умножение или деление обеих частей неравенства на выражение, содержащее переменную, является равносильным преобразованием только в том случае, если это выражение принимает значения строго одного знака на всей области допустимых значений (ОДЗ). Если же выражение может быть как положительным, так и отрицательным, то такое преобразование без учета знака этого выражения приведет к неверному результату. Например, при умножении на отрицательное значение знак неравенства должен меняться на противоположный.

Пример:

Рассмотрим неравенство $\frac{x-1}{x} > 0$.

Некорректное (неравносильное) преобразование — умножить обе части на $x$, предполагая, что $x > 0$:$x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$.При этом теряется часть решений.Правильное решение этого неравенства методом интервалов дает $x \in (-\infty; 0) \cup (1; +\infty)$.Неравносильное преобразование привело к потере интервала $(-\infty; 0)$.

Ответ: Умножение или деление на выражение с переменной без рассмотрения случаев, когда это выражение положительно, отрицательно или равно нулю, является неравносильным преобразованием, которое может привести к потере решений или приобретению посторонних.

2. Возведение обеих частей неравенства в четную степень.

Возведение в квадрат (или любую другую четную степень) обеих частей неравенства является равносильным преобразованием только тогда, когда обе части неравенства неотрицательны. Если хотя бы одна из частей может принимать отрицательные значения, то такое преобразование, как правило, неравносильно и часто приводит к появлению посторонних решений.

Пример:

Рассмотрим неравенство $x > -3$.

Множество его решений — это интервал $(-3; +\infty)$.Если возвести обе части в квадрат, получим:$x^2 > (-3)^2 \Rightarrow x^2 > 9$.Решением этого неравенства является объединение интервалов $(-\infty; -3) \cup (3; +\infty)$.Сравнивая с исходным множеством решений, мы видим, что были потеряны решения из интервала $(-3; 3]$ и приобретены посторонние решения из интервала $(-\infty; -3)$.

Ответ: Возведение обеих частей неравенства в четную степень без учета знаков выражений является неравносильным преобразованием, так как оно не сохраняет отношение порядка для отрицательных чисел и может изменить множество решений.

3. Некорректное применение логарифмирования.

Переход от неравенства $f(x) > g(x)$ к неравенству $\log_a(f(x)) > \log_a(g(x))$ (при $a>1$) является равносильным только на множестве тех значений $x$, для которых обе функции $f(x)$ и $g(x)$ строго положительны. Применение логарифмирования без учета этого условия — это неравносильное преобразование, так как оно искусственно сужает область допустимых значений (ОДЗ).

Пример:

Рассмотрим неравенство $x^3 > -27$.

Решением является $x > -3$.Применить логарифмирование к обеим частям напрямую нельзя, так как правая часть отрицательна, и логарифм от нее не определен. Если бы мы проигнорировали это и попытались применить логарифм, это было бы математически некорректным действием. Если же в неравенстве вида $f(x) > g(x)$ есть решения, при которых $f(x)$ или $g(x)$ неположительны, то операция логарифмирования приведет к их потере.

Ответ: Логарифмирование обеих частей неравенства является неравносильным преобразованием, если не учитывается требование положительности выражений под знаком логарифма, что приводит к сужению ОДЗ и возможной потере решений.

4. Преобразования, изменяющие область допустимых значений (ОДЗ).

Любые преобразования, которые приводят к изменению ОДЗ исходного неравенства, являются неравносильными. Это может быть как сужение ОДЗ (что ведет к потере корней), так и его расширение (что ведет к появлению посторонних корней).

Пример (расширение ОДЗ):

Рассмотрим неравенство $\frac{x^2 - 9}{x - 3} > 2$.

ОДЗ этого неравенства: $x \neq 3$.Некорректное преобразование — сокращение дроби:$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} > 2 \Rightarrow x+3 > 2 \Rightarrow x > -1$.Решение $x > -1$ включает в себя значение $x=3$, которое не входит в ОДЗ исходного неравенства.Правильное решение: $x > -1$ с учетом ОДЗ $x \neq 3$. То есть $x \in (-1; 3) \cup (3; +\infty)$. Без учета ОДЗ мы бы получили постороннее решение.

Пример (сужение ОДЗ):

Переход от неравенства $\sqrt{f(x)g(x)} > h(x)$ к $\sqrt{f(x)}\sqrt{g(x)} > h(x)$.ОДЗ первого неравенства: $f(x)g(x) \ge 0$. Это возможно, когда $f(x) \ge 0, g(x) \ge 0$ или $f(x) \le 0, g(x) \le 0$.ОДЗ второго неравенства: $f(x) \ge 0$ и $g(x) \ge 0$.Такое преобразование сужает ОДЗ, отбрасывая случай, когда обе функции неположительны, и может привести к потере решений.

Ответ: Преобразования, которые меняют ОДЗ (например, сокращение дробей без учета знаменателя, неверная работа с корнями или логарифмами), являются неравносильными, так как могут приводить к потере или приобретению решений.