Номер 3, страница 250, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Даны два неравенства: $f(x) > g(x)$ и $p(x) < h(x)$. В каком случае неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$?

Для того чтобы неравенство $f(x) > g(x)$ являлось следствием неравенства $p(x) < h(x)$, необходимо, чтобы множество решений второго неравенства было подмножеством множества решений первого. Это означает, что для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $p(x) < h(x)$, также должно выполняться условие $f(x) > g(x)$.

Чтобы гарантировать это, можно установить такую связь между функциями, которая позволит построить логическую цепочку неравенств. Для наглядности перепишем неравенство-следствие в эквивалентном виде: $g(x) < f(x)$.

Рассмотрим достаточные условия, которые связывают все четыре функции. Предположим, что для всех значений $x$ из общей области определения функций выполняются следующие два неравенства: $f(x) \ge h(x)$ и $g(x) \le p(x)$.

Теперь, если для какого-либо $x$ истинно неравенство $p(x) < h(x)$, мы можем объединить все известные нам неравенства в одну цепочку:

$g(x) \le p(x) < h(x) \le f(x)$

Эта цепочка получается последовательным применением неравенств: сначала $g(x) \le p(x)$, затем исходного $p(x) < h(x)$, и, наконец, $h(x) \le f(x)$.

Из данной цепочки $g(x) \le p(x) < h(x) \le f(x)$ очевидно следует, что крайние члены связаны строгим неравенством: $g(x) < f(x)$. Это эквивалентно исходному неравенству-следствию $f(x) > g(x)$.

Следовательно, мы нашли случай, при котором из истинности $p(x) < h(x)$ вытекает истинность $f(x) > g(x)$.

Ответ: Неравенство $f(x) > g(x)$ является следствием неравенства $p(x) < h(x)$, если для всех $x$ из общей области определения этих функций одновременно выполняются два условия: $f(x) \ge h(x)$ и $g(x) \le p(x)$.