Номер 3, страница 241, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

уравнений с одной переменной?

3. Опишите суть метода введения новой переменной при решении уравнения с одной переменной.

3.

Метод введения новой переменной (или метод замены переменной) — это один из наиболее универсальных и эффективных приемов решения уравнений, который заключается в замене некоторого повторяющегося в уравнении выражения новой переменной. Это позволяет свести исходное, часто сложное и громоздкое уравнение, к более простому, стандартному виду (например, линейному, квадратному), которое легко решается известными методами.

Алгоритм применения метода состоит из следующих шагов:

1. Анализ уравнения и выбор замены. Внимательно изучают структуру уравнения и находят в нем повторяющееся выражение $g(x)$. Это выражение обозначают новой переменной, например, $t$. То есть, выполняют замену: $t = g(x)$. Важно на этом этапе определить область допустимых значений для новой переменной $t$, исходя из свойств выражения $g(x)$.
2. Составление нового уравнения. Заменяют все вхождения выражения $g(x)$ в исходном уравнении на новую переменную $t$. В результате получают новое, более простое уравнение относительно переменной $t$.
3. Решение нового уравнения. Решают полученное уравнение относительно $t$. В результате находят один или несколько корней: $t_1, t_2, \ldots, t_n$.
4. Отбор корней для новой переменной. Проверяют найденные значения $t$ на соответствие области допустимых значений, определенной в первом шаге. Те значения, которые не удовлетворяют ограничениям, отбрасывают.
5. Обратная замена. Для каждого подходящего корня $t_k$ составляют и решают уравнение, возвращаясь к исходной переменной $x$: $g(x) = t_k$.
6. Формирование ответа. Все найденные на предыдущем шаге значения $x$ и являются корнями исходного уравнения. Если необходимо, их проверяют подстановкой в исходное уравнение или на соответствие области определения исходного уравнения (ОДЗ).

Пример 1: Решение биквадратного уравнения.

Рассмотрим уравнение: $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$.

1. Видим, что уравнение содержит $x^2$ и $x^4 = (x^2)^2$. Введем новую переменную $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то и для новой переменной должно выполняться условие $t \ge 0$.

2. Подставим $t$ в уравнение: $t^2 - 13t + 36 = 0$.

3. Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = 9$.

4. Оба корня ($4$ и $9$) удовлетворяют условию $t \ge 0$.

5. Выполним обратную замену:
а) $x^2 = 4 \implies x_{1,2} = \pm 2$.
б) $x^2 = 9 \implies x_{3,4} = \pm 3$.

6. Корни исходного уравнения: $-3, -2, 2, 3$.

Пример 2: Решение тригонометрического уравнения.

Рассмотрим уравнение: $2\cos^2(x) + 3\cos(x) - 2 = 0$.

1. Повторяющееся выражение — $\cos(x)$. Введем замену $t = \cos(x)$. Область значений косинуса — $[-1, 1]$, следовательно, $|t| \le 1$.

2. Уравнение принимает вид: $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

3. Решаем квадратное уравнение:
$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.
$t_1 = \frac{-3 - 5}{4} = -2$.
$t_2 = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.

4. Проверяем корни. $t_1 = -2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, поэтому это посторонний корень. $t_2 = 0.5$ удовлетворяет условию.

5. Выполняем обратную замену для подходящего корня: $\cos(x) = 0.5$.

6. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение: $x = \pm \arccos(0.5) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Суть метода введения новой переменной заключается в том, чтобы путем замены повторяющегося в уравнении выражения на новую переменную преобразовать исходное сложное уравнение в более простое уравнение стандартного вида. После нахождения значений новой переменной выполняется обратная замена, что позволяет найти корни исходного уравнения.