Номер 12, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

12. Объясните, почему при переходе от уравнения $\sqrt{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^2$ могут появиться посторонние корни, а переход от уравнения $\sqrt[3]{f(x)} = g(x)$ к уравнению $f(x) = (g(x))^3$ является равносильным преобразованием.

Объясните, почему при переходе от уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ к уравнению $ f(x) = (g(x))^2 $ могут появиться посторонние корни

Рассмотрим исходное уравнение $ \sqrt{f(x)} = g(x) $.

1. По определению арифметического квадратного корня, его значение не может быть отрицательным. Это означает, что левая часть уравнения, $ \sqrt{f(x)} $, всегда больше или равна нулю. Следовательно, и правая часть уравнения должна удовлетворять этому условию: $ g(x) \ge 0 $.

2. Также, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $ f(x) \ge 0 $.

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ f(x) = (g(x))^2 \end{cases} $

(Условие $ f(x) \ge 0 $ здесь выполняется автоматически, так как $ (g(x))^2 \ge 0 $ для любых $ x $).

Когда мы возводим обе части исходного уравнения в квадрат, мы переходим к уравнению $ f(x) = (g(x))^2 $. При этом преобразовании теряется важное условие $ g(x) \ge 0 $.

Уравнение $ f(x) = (g(x))^2 $ является следствием не только исходного уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $, но и уравнения $ \sqrt{f(x)} = -g(x) $. То есть, уравнение $ f(x) = (g(x))^2 $ равносильно совокупности двух уравнений:

$ \left[ \begin{gathered} \sqrt{f(x)} = g(x) \\ \sqrt{f(x)} = -g(x) \end{gathered} \right. $

Поэтому среди корней уравнения $ f(x) = (g(x))^2 $ могут оказаться такие значения $ x $, для которых $ g(x) < 0 $. Эти значения будут удовлетворять уравнению $ \sqrt{f(x)} = -g(x) $, но не будут являться корнями исходного уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $. Такие корни называются посторонними.

Ответ: При возведении в квадрат уравнения $ \sqrt{f(x)} = g(x) $ происходит расширение области допустимых значений для функции $ g(x) $. Теряется требование $ g(x) \ge 0 $, из-за чего в решении могут появиться корни, для которых $ g(x) < 0 $, что противоречит определению арифметического квадратного корня.

Объясните, почему переход от уравнения $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $ к уравнению $ f(x) = (g(x))^3 $ является равносильным преобразованием

Рассмотрим уравнение $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $.

1. Функция кубического корня $ y = \sqrt[3]{a} $ определена для любых действительных чисел $ a $. Это значит, что на выражение $ f(x) $ не накладывается никаких ограничений по знаку.

2. Значение кубического корня может быть как положительным, так и отрицательным или равным нулю. Следовательно, на функцию $ g(x) $ также не накладывается никаких ограничений по знаку.

Функция возведения в куб $ y = x^3 $ является взаимно однозначной для всех действительных чисел. Это означает, что для каждого значения $ y $ существует ровно одно значение $ x $, и наоборот. Иными словами, равенство $ a = b $ истинно тогда и только тогда, когда истинно равенство $ a^3 = b^3 $.

Поэтому, если мы возведем обе части уравнения $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $ в куб, мы получим уравнение $ (\sqrt[3]{f(x)})^3 = (g(x))^3 $, которое упрощается до $ f(x) = (g(x))^3 $.

Это преобразование является равносильным, потому что из уравнения $ f(x) = (g(x))^3 $ можно однозначно вернуться к исходному, извлекая кубический корень из обеих частей: $ \sqrt[3]{f(x)} = \sqrt[3]{(g(x))^3} $, что равносильно $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $.

Поскольку при переходе от одного уравнения к другому и обратно мы не теряем и не приобретаем никаких корней, эти уравнения являются равносильными, и появление посторонних корней невозможно.

Ответ: Переход от уравнения $ \sqrt[3]{f(x)} = g(x) $ к $ f(x) = (g(x))^3 $ является равносильным преобразованием, так как функция возведения в куб $ y = x^3 $ является строго монотонной и взаимно однозначной на всей числовой оси. Это преобразование не накладывает и не снимает никаких ограничений на переменные, поэтому множества решений исходного и преобразованного уравнений совпадают.