Номер 2, страница 241, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

2. В чём состоит метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной?

2. В чём состоит метод разложения на множители при решении уравнений с одной переменной?

Метод разложения на множители — это способ решения уравнения, при котором его преобразуют так, чтобы одна из частей (обычно левая) представляла собой произведение нескольких выражений (множителей), а другая часть была равна нулю. Этот метод особенно эффективен для решения полиномиальных уравнений.

Основой метода является свойство числового произведения: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен нулю.

Таким образом, уравнение вида $A(x) \cdot B(x) \cdot C(x) = 0$ равносильно совокупности (то есть набору) более простых уравнений:

$A(x) = 0$

$B(x) = 0$

$C(x) = 0$

Решением исходного уравнения будет объединение всех корней, найденных в каждом из этих простых уравнений.

Алгоритм применения метода:

1. Перенести все слагаемые уравнения в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$.
2. Разложить выражение $f(x)$ на множители. Для этого могут применяться различные алгебраические техники:
   • Вынесение общего множителя за скобки.
   • Использование формул сокращенного умножения (например, разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$).
   • Метод группировки слагаемых.
   • Разложение квадратного трехчлена на множители по его корням: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
   • Для многочленов высших степеней — нахождение целых корней среди делителей свободного члена с последующим делением многочлена на двучлен $(x - x_{корень})$.
3. Приравнять к нулю каждый из полученных множителей.
4. Решить каждое из получившихся простых уравнений.
5. Объединить все найденные корни. Если уравнение имело ограничения на область допустимых значений (ОДЗ), необходимо проверить, удовлетворяют ли им найденные корни.

Пример:

Решить уравнение $x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0$.

1. Уравнение уже приведено к виду $f(x)=0$.

2. Разложим левую часть на множители методом группировки. Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 3x^2) + (-4x + 12) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - 3) - 4(x - 3) = 0$

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 - 4) = 0$

Множитель $(x^2 - 4)$ можно разложить по формуле разности квадратов:

$(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0$

3. Приравняем каждый множитель к нулю:

$x - 3 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 2 = 0$

4. Решим получившиеся линейные уравнения:

$x_1 = 3$

$x_2 = 2$

$x_3 = -2$

5. Объединяем корни. Ограничений на ОДЗ не было. Корнями уравнения являются числа -2, 2, 3.

Ответ: Метод разложения на множители заключается в преобразовании уравнения к виду $f_1(x) \cdot f_2(x) \cdot \dots \cdot f_n(x) = 0$. Это позволяет свести решение одного сложного уравнения к решению совокупности более простых уравнений: $f_1(x)=0$, $f_2(x)=0$, ..., $f_n(x)=0$. Итоговое множество корней является объединением корней всех этих простых уравнений.