Номер 11, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Объясните, почему при переходе от уравнения $log_a f(x) = log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни.

При переходе от уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ могут появиться посторонние корни из-за расширения области допустимых значений (ОДЗ).

1. Область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения

Исходное уравнение $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ имеет смысл только тогда, когда выполнены следующие условия, составляющие его ОДЗ:

• Основание логарифма $a > 0$ и $a \neq 1$.
• Аргумент первого логарифма строго больше нуля: $f(x) > 0$.
• Аргумент второго логарифма строго больше нуля: $g(x) > 0$.

Таким образом, ОДЗ исходного уравнения определяется системой неравенств: $\begin{cases} f(x) > 0 \\ g(x) > 0 \end{cases}$.

2. Область допустимых значений уравнения-следствия

Уравнение $f(x) = g(x)$, полученное в результате потенцирования (избавления от логарифмов), является следствием исходного. Для этого уравнения не существует требования, чтобы функции $f(x)$ и $g(x)$ были положительными. Оно имеет смысл для всех $x$, при которых $f(x)$ и $g(x)$ определены и равны, в том числе и для тех $x$, при которых $f(x) = g(x) \le 0$.

3. Причина появления посторонних корней

Поскольку ОДЗ уравнения-следствия $f(x) = g(x)$ шире, чем ОДЗ исходного логарифмического уравнения, оно может иметь корни, которые не удовлетворяют первоначальным условиям $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$.

Такие корни, при которых $f(x) = g(x) \le 0$, и являются посторонними для исходного уравнения, так как при их подстановке аргументы логарифмов становятся отрицательными или равными нулю, что недопустимо.

Пример:

Рассмотрим уравнение $\log_3(x^2 - 10) = \log_3(3x)$.

ОДЗ исходного уравнения:

$\begin{cases} x^2 - 10 > 0 \\ 3x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < -\sqrt{10} \text{ или } x > \sqrt{10} \\ x > 0 \end{cases} \implies x > \sqrt{10}$.

Решение уравнения-следствия:

Переходим к уравнению $x^2 - 10 = 3x$.

$x^2 - 3x - 10 = 0$.

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.

Проверка корней:

• Корень $x_1 = 5$. Проверяем, входит ли он в ОДЗ: $5 > \sqrt{10}$ (так как $25 > 10$). Корень подходит.
• Корень $x_2 = -2$. Проверяем, входит ли он в ОДЗ: $-2 > \sqrt{10}$. Это неверно. Следовательно, $x_2 = -2$ — посторонний корень.

При $x = -2$ мы получаем $f(-2) = (-2)^2 - 10 = 4 - 10 = -6$ и $g(-2) = 3(-2) = -6$. Хотя $f(-2) = g(-2)$, оба значения отрицательны, и логарифмы $\log_3(-6)$ не определены.

Ответ: При переходе от уравнения $\log_a f(x) = \log_a g(x)$ к уравнению $f(x) = g(x)$ происходит расширение области допустимых значений. Уравнение-следствие $f(x) = g(x)$ допускает решения, при которых $f(x)$ и $g(x)$ могут быть отрицательными или равными нулю, в то время как для исходного логарифмического уравнения требуется, чтобы $f(x) > 0$ и $g(x) > 0$. Корни, не удовлетворяющие этим условиям, являются посторонними.