Номер 5, страница 233, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Опишите три основных этапа решения уравнения с одной переменной.

Решение уравнения с одной переменной — это процесс, который можно разбить на три последовательных логических этапа.

Этап 1. Преобразование уравнения и определение Области допустимых значений (ОДЗ)

Цель этого этапа — привести исходное, возможно сложное, уравнение к более простому, стандартному виду. Это достигается с помощью тождественных преобразований, таких как: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, избавление от знаменателей (путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель) и перенос всех членов в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$. Одновременно с этим необходимо определить Область допустимых значений (ОДЗ) — множество всех значений переменной $x$, при которых исходное уравнение имеет смысл. Например, в уравнении $\frac{\sqrt{x}}{x-2} = 1$ ОДЗ определяется двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$) и знаменатель не должен равняться нулю ($x-2 \ne 0$). Следовательно, ОДЗ: $x \in [0, 2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: На первом этапе уравнение упрощают и определяют область, в которой могут находиться его корни (ОДЗ).

Этап 2. Решение упрощенного уравнения

На втором этапе решается уравнение, полученное после преобразований. В зависимости от его вида применяются соответствующие методы и формулы. Например, для линейного уравнения вида $ax+b=0$ решение находится как $x = -b/a$ (при $a \neq 0$), а для квадратного уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ корни находят по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Для более сложных уравнений используются специальные приемы, такие как разложение на множители или метод замены переменной. В результате этого этапа мы получаем один или несколько "кандидатов" в корни уравнения.

Ответ: На втором этапе, используя стандартные алгоритмы и формулы, находят все возможные решения упрощенного уравнения.

Этап 3. Проверка корней и формирование ответа

Это заключительный и критически важный этап, на котором отсеиваются посторонние корни — значения, которые являются решениями упрощенного уравнения, но не исходного. Такие корни могут появиться из-за неэквивалентных преобразований, например, при возведении обеих частей уравнения в четную степень. Проверка выполняется двумя основными способами. Во-первых, это проверка по ОДЗ: все найденные корни сравниваются с областью допустимых значений, и те, что не входят в ОДЗ, отбрасываются. Во-вторых, это подстановка в исходное уравнение, что является самым надежным методом. Каждый оставшийся корень подставляется в самое начальное уравнение, и если получается верное числовое равенство, корень считается действительным решением. После завершения проверки формируется окончательный ответ.

Ответ: На третьем этапе найденные корни проверяются на соответствие ОДЗ и/или путем подстановки в исходное уравнение, после чего записывается итоговый ответ.