Номер 5, страница 222, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Меры центральной тенденции: мода, медиана, среднее.

Меры центральной тенденции — это числовые характеристики, которые описывают центральное или типичное значение в наборе данных. Они позволяют одним числом обобщить всю совокупность данных. К основным мерам центральной тенденции относятся мода, медиана и среднее арифметическое.

Мода

Мода ($M_o$) — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Набор данных может иметь:

• Одну моду (унимодальный набор): когда только одно значение встречается чаще других. Пример: в наборе {1, 2, 4, 5, 5, 5, 6, 7} мода равна 5.

• Две моды (бимодальный набор): когда два разных значения имеют одинаковую и наибольшую частоту. Пример: в наборе {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5} моды равны 2 и 4.

• Более двух мод (мультимодальный набор): когда несколько значений имеют одинаковую и наибольшую частоту.

• Отсутствие моды: когда все значения в наборе встречаются одинаковое количество раз. Пример: в наборе {1, 2, 3, 4, 5} моды нет.

Мода является единственной мерой центральной тенденции, которую можно использовать для качественных (категориальных) данных, например, для определения самого популярного цвета автомобиля или самой распространенной марки телефона.

Ответ: Мода — это наиболее часто встречающееся значение в выборке.

Медиана

Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченный набор данных ровно пополам. Половина значений в наборе будет меньше медианы, а другая половина — больше.

Алгоритм нахождения медианы:

1. Упорядочить все значения набора данных по возрастанию или убыванию.

2. Определить значение в середине ряда.

   • Если количество элементов в наборе ($n$) нечетное, медиана — это значение, стоящее точно посередине. Его номер можно найти по формуле: $(n+1)/2$.
     Пример: для набора {7, 2, 5, 1, 9} сначала упорядочим его: {1, 2, 5, 7, 9}. В наборе 5 элементов, медиана — это $(5+1)/2=3$-й элемент, то есть 5.

   • Если количество элементов в наборе ($n$) четное, медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений. Их номера: $n/2$ и $n/2 + 1$.
     Пример: для набора {8, 2, 6, 4, 10, 12} упорядочим его: {2, 4, 6, 8, 10, 12}. В наборе 6 элементов, медиана — это среднее между $6/2=3$-м и $6/2+1=4$-м элементами. $M_e = (6 + 8) / 2 = 7$.

Главное преимущество медианы в том, что на нее не влияют экстремальные значения (выбросы). Поэтому медиану часто используют для описания данных с сильным разбросом, например, доходов населения.

Ответ: Медиана — это серединное значение упорядоченного ряда данных.

Среднее

Среднее, или среднее арифметическое ($\bar{x}$), — это самая распространенная мера центральной тенденции. Она вычисляется путем сложения всех значений в наборе данных и деления полученной суммы на количество этих значений.

Формула для расчета среднего арифметического:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

где $x_i$ — это каждое отдельное значение в наборе, а $n$ — общее количество значений.

Пример: найдем среднее для набора {3, 5, 7, 9}.

Сумма значений: $3 + 5 + 7 + 9 = 24$.

Количество значений: $n = 4$.

Среднее: $\bar{x} = 24 / 4 = 6$.

Среднее арифметическое является хорошим показателем центральной тенденции для данных, которые распределены симметрично и не имеют значительных выбросов. Однако, если в наборе есть очень большие или очень маленькие значения, они могут сильно сместить среднее, и оно перестанет быть хорошим представителем "типичного" значения.

Ответ: Среднее — это сумма всех значений в выборке, деленная на их количество.