Номер 4, страница 222, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Задачи на использование формулы Бернулли.

Поскольку на изображении представлено только название темы, а не конкретная задача, будет приведено общее объяснение формулы Бернулли и решён пример задачи на её использование.

Формула Бернулли применяется в теории вероятностей для нахождения вероятности того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие $A$ наступит ровно $k$ раз. Ключевыми условиями для применения формулы являются независимость испытаний и постоянство вероятности наступления события $A$ в каждом испытании.

Сама формула выглядит следующим образом:

$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

Расшифровка обозначений в формуле:

$P_n(k)$ — искомая вероятность того, что в $n$ испытаниях событие $A$ произойдет ровно $k$ раз.

$n$ — общее число проведенных независимых испытаний.

$k$ — число наступлений события $A$ (число «успехов»).

$p$ — вероятность наступления события $A$ в одном испытании (вероятность «успеха»).

$q$ — вероятность ненаступления события $A$ в одном испытании (вероятность «неудачи»), которая вычисляется как $q = 1 - p$.

$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ «успешных» испытаний из $n$ общих. Рассчитывается по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Условие: Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0.7. Стрелок производит 5 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадет в мишень ровно 3 раза.

Решение:

Данная задача описывает серию независимых испытаний (выстрелов), где результат каждого испытания («попал» или «не попал») не зависит от других. Вероятность успеха постоянна. Следовательно, для решения можно использовать формулу Бернулли.

Определим параметры задачи:

Общее число испытаний $n = 5$ (всего 5 выстрелов).

Количество «успехов» $k = 3$ (требуется ровно 3 попадания).

Вероятность «успеха» в одном испытании (попадание в мишень) $p = 0.7$.

Вероятность «неудачи» в одном испытании (промах) $q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

Подставим эти значения в формулу Бернулли:

$$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^{5-3}$$

Теперь вычислим каждый компонент формулы по отдельности.

1. Число сочетаний $C_5^3$:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$$

2. Возведем в степень вероятности:

$(0.7)^3 = 0.343$

$(0.3)^2 = 0.09$

3. Соберем все вместе и вычислим итоговую вероятность:

$$P_5(3) = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087$$

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 3 раза из 5, составляет 0.3087.

Ответ: $0.3087$