Номер 1, страница 222, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Геометрия и вероятность. Парадокс Бертрана.

Парадокс Бертрана — это классическая проблема в области геометрической вероятности. Он демонстрирует, что понятие "случайно выбранный" может быть нечетким, если не определен точный механизм выбора. Проблема формулируется так: какова вероятность того, что случайно выбранная хорда окружности окажется длиннее стороны вписанного в эту окружность правильного треугольника?

Парадокс заключается в том, что в зависимости от метода "случайного выбора" хорды можно получить разные, но логически обоснованные ответы. Рассмотрим три наиболее известных метода.

Сначала установим геометрическую основу. Пусть окружность имеет радиус $R$. Длина стороны вписанного в нее правильного треугольника равна $s = R\sqrt{3}$. Хорда будет длиннее этой стороны тогда и только тогда, когда ее расстояние от центра окружности меньше, чем расстояние от центра до стороны треугольника. Это расстояние (апофема треугольника) равно $R/2$. Таким образом, задача сводится к нахождению вероятности того, что расстояние $d$ от центра окружности до случайно выбранной хорды удовлетворяет условию $d < R/2$.

Метод 1: Случайные конечные точки

В этом методе мы фиксируем одну точку $A$ на окружности и выбираем вторую точку $B$ случайным образом с равномерным распределением по всей длине окружности. Хорда $AB$ будет длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если центральный угол, который она стягивает, будет больше $120^\circ$.

Представим, что вершины вписанного треугольника $A$, $C$, $D$ делят окружность на три дуги по $120^\circ$ каждая. Если мы зафиксировали точку $A$ как одну из вершин, то для того, чтобы хорда $AB$ была длиннее стороны $AC$ (или $AD$), вторая точка $B$ должна попасть на дугу $CD$, не содержащую точку $A$. Длина этой дуги составляет $120^\circ$.

Общая длина окружности — $360^\circ$. Длина "благоприятной" дуги — $120^\circ$. Таким образом, вероятность равна отношению длин дуг: $$P = \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$$

Ответ: 1/3

Метод 2: Случайный радиус и точка на нем

В этом методе мы выбираем случайный радиус окружности (то есть случайное направление) и затем на этом радиусе выбираем случайную точку, которая будет серединой хорды. Хорда будет перпендикулярна выбранному радиусу.

Пусть расстояние от центра до выбранной точки на радиусе равно $d$. Это расстояние будет равномерно распределено на отрезке $[0, R]$. Как мы установили ранее, хорда будет длиннее стороны вписанного треугольника, если ее расстояние от центра $d$ меньше $R/2$.

Таким образом, "благоприятный" диапазон для $d$ — это отрезок $[0, R/2]$, длина которого равна $R/2$. Общий диапазон для $d$ — это отрезок $[0, R]$, длина которого равна $R$. Вероятность — это отношение длин этих отрезков: $$P = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$$

Ответ: 1/2

Метод 3: Случайная середина хорды

В этом методе мы выбираем случайную точку $M$ с равномерным распределением по всей площади круга. Эта точка считается серединой искомой хорды.

Хорда однозначно определяется своей серединой. Расстояние от центра до хорды — это расстояние от центра круга $O$ до точки $M$. Обозначим это расстояние $d$. Условие того, что хорда длиннее стороны вписанного треугольника, остается прежним: $d < R/2$.

Это означает, что середина хорды $M$ должна лежать внутри концентрического круга с радиусом $r = R/2$. Вероятность этого события равна отношению площади "благоприятного" круга (с радиусом $R/2$) к площади всего круга (с радиусом $R$).

Площадь всего круга: $S_{total} = \pi R^2$.
Площадь благоприятного круга: $S_{fav} = \pi (R/2)^2 = \pi R^2 / 4$.
Вероятность: $$P = \frac{S_{fav}}{S_{total}} = \frac{\pi R^2 / 4}{\pi R^2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: 1/4

Заключение

Парадокс Бертрана не имеет единственного "правильного" решения. Он показывает, что для задач геометрической вероятности критически важно точно определить процедуру случайного выбора. Каждый из трех методов определяет свой способ генерации "случайной хорды" и, соответственно, свое вероятностное пространство. Все три ответа ($1/3$, $1/2$ и $1/4$) являются верными в рамках своей интерпретации условия задачи. Парадокс подчеркивает, что без уточнения механизма случайного выбора вопрос является неоднозначным.