Номер 6, страница 222, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Статистическая устойчивость и статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности применимо только к экспериментам с конечным числом равновозможных исходов. Однако на практике часто встречаются ситуации, где исходы не равновозможны или их число бесконечно. Для таких случаев используется статистический подход, основанный на понятии относительной частоты и свойстве статистической устойчивости.

Относительной частотой (или статистической частотой) события A в серии из n испытаний называется отношение числа m тех испытаний, в которых событие A наступило, к общему числу проведенных испытаний n. Обозначается как W(A):

$W(A) = \frac{m}{n}$

Например, если при 1000 подбрасываниях монеты орел выпал 496 раз, то относительная частота выпадения орла в данной серии испытаний равна $W(\text{орел}) = \frac{496}{1000} = 0.496$.

Статистическая устойчивость — это ключевое эмпирическое свойство, которое заключается в том, что при проведении большого числа однородных независимых испытаний относительная частота случайного события, несмотря на свою случайность в каждой отдельной серии, проявляет тенденцию к стабилизации. То есть, с увеличением числа испытаний n, значение относительной частоты W(A) колеблется всё меньше и меньше, приближаясь к некоторому постоянному числу. Это число и принимают за вероятность данного события.

Это свойство было подтверждено множеством экспериментов. Например:

• Французский естествоиспытатель Ж. Бюффон (XVIII в.) подбросил монету 4040 раз, и герб выпал 2048 раз. Относительная частота: $W(A) = \frac{2048}{4040} \approx 0.5069$.
• Английский математик К. Пирсон (начало XX в.) подбросил монету 24000 раз, герб выпал 12012 раз. Относительная частота: $W(A) = \frac{12012}{24000} \approx 0.5005$.

Как видно из примеров, с увеличением числа опытов относительная частота выпадения герба приближается к 0.5, что соответствует классическому определению вероятности.

На основе свойства статистической устойчивости вводится статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события A называется число P(A), около которого колеблется и к которому стремится относительная частота W(A) этого события при неограниченном увеличении числа испытаний n.

Математически это можно записать как предел (понимаемый в смысле теории вероятностей, в частности, закона больших чисел):

$P(A) = \lim_{n \to \infty} W(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m}{n}$

Таким образом, для достаточно большого числа испытаний n можно принять, что $P(A) \approx W(A)$.

Свойства и ограничения статистического определения:

• Достоинства: Оно основано на реальном опыте и применимо к широкому кругу задач, где классическое определение не работает. Оно позволяет оценить вероятности событий в реальных физических, биологических, экономических и социальных процессах.
• Недостатки:
  1. Определение является апостериорным, то есть для нахождения вероятности необходимо провести большое число испытаний, в то время как классическое определение — априорное (вероятность вычисляется до опыта).
  2. Результат, полученный на практике, всегда является лишь приближенным значением вероятности, так как провести бесконечное число испытаний невозможно.
  3. Сложно определить, какое число испытаний n является "достаточно большим".
  4. Требуется возможность многократного воспроизведения испытаний в одних и тех же условиях, что не всегда выполнимо (например, для уникальных исторических или экономических событий).

Ответ: Статистическая устойчивость — это эмпирически наблюдаемое явление, при котором относительная частота события в длинной серии независимых однородных испытаний стабилизируется, то есть колеблется около некоторого постоянного значения. Статистическое определение вероятности формулируется на основе этого явления: вероятностью события называют то постоянное число, к которому стремится его относительная частота при неограниченном увеличении числа испытаний. Это определение является опытным (апостериорным) и позволяет находить вероятности событий, для которых неприменимо классическое определение.