Страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Геометрия и вероятность. Парадокс Бертрана.

Парадокс Бертрана — это классическая проблема в области геометрической вероятности. Он демонстрирует, что понятие "случайно выбранный" может быть нечетким, если не определен точный механизм выбора. Проблема формулируется так: какова вероятность того, что случайно выбранная хорда окружности окажется длиннее стороны вписанного в эту окружность правильного треугольника?

Парадокс заключается в том, что в зависимости от метода "случайного выбора" хорды можно получить разные, но логически обоснованные ответы. Рассмотрим три наиболее известных метода.

Сначала установим геометрическую основу. Пусть окружность имеет радиус $R$. Длина стороны вписанного в нее правильного треугольника равна $s = R\sqrt{3}$. Хорда будет длиннее этой стороны тогда и только тогда, когда ее расстояние от центра окружности меньше, чем расстояние от центра до стороны треугольника. Это расстояние (апофема треугольника) равно $R/2$. Таким образом, задача сводится к нахождению вероятности того, что расстояние $d$ от центра окружности до случайно выбранной хорды удовлетворяет условию $d < R/2$.

Метод 1: Случайные конечные точки

В этом методе мы фиксируем одну точку $A$ на окружности и выбираем вторую точку $B$ случайным образом с равномерным распределением по всей длине окружности. Хорда $AB$ будет длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если центральный угол, который она стягивает, будет больше $120^\circ$.

Представим, что вершины вписанного треугольника $A$, $C$, $D$ делят окружность на три дуги по $120^\circ$ каждая. Если мы зафиксировали точку $A$ как одну из вершин, то для того, чтобы хорда $AB$ была длиннее стороны $AC$ (или $AD$), вторая точка $B$ должна попасть на дугу $CD$, не содержащую точку $A$. Длина этой дуги составляет $120^\circ$.

Общая длина окружности — $360^\circ$. Длина "благоприятной" дуги — $120^\circ$. Таким образом, вероятность равна отношению длин дуг: $$P = \frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$$

Ответ: 1/3

Метод 2: Случайный радиус и точка на нем

В этом методе мы выбираем случайный радиус окружности (то есть случайное направление) и затем на этом радиусе выбираем случайную точку, которая будет серединой хорды. Хорда будет перпендикулярна выбранному радиусу.

Пусть расстояние от центра до выбранной точки на радиусе равно $d$. Это расстояние будет равномерно распределено на отрезке $[0, R]$. Как мы установили ранее, хорда будет длиннее стороны вписанного треугольника, если ее расстояние от центра $d$ меньше $R/2$.

Таким образом, "благоприятный" диапазон для $d$ — это отрезок $[0, R/2]$, длина которого равна $R/2$. Общий диапазон для $d$ — это отрезок $[0, R]$, длина которого равна $R$. Вероятность — это отношение длин этих отрезков: $$P = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$$

Ответ: 1/2

Метод 3: Случайная середина хорды

В этом методе мы выбираем случайную точку $M$ с равномерным распределением по всей площади круга. Эта точка считается серединой искомой хорды.

Хорда однозначно определяется своей серединой. Расстояние от центра до хорды — это расстояние от центра круга $O$ до точки $M$. Обозначим это расстояние $d$. Условие того, что хорда длиннее стороны вписанного треугольника, остается прежним: $d < R/2$.

Это означает, что середина хорды $M$ должна лежать внутри концентрического круга с радиусом $r = R/2$. Вероятность этого события равна отношению площади "благоприятного" круга (с радиусом $R/2$) к площади всего круга (с радиусом $R$).

Площадь всего круга: $S_{total} = \pi R^2$.
Площадь благоприятного круга: $S_{fav} = \pi (R/2)^2 = \pi R^2 / 4$.
Вероятность: $$P = \frac{S_{fav}}{S_{total}} = \frac{\pi R^2 / 4}{\pi R^2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: 1/4

Заключение

Парадокс Бертрана не имеет единственного "правильного" решения. Он показывает, что для задач геометрической вероятности критически важно точно определить процедуру случайного выбора. Каждый из трех методов определяет свой способ генерации "случайной хорды" и, соответственно, свое вероятностное пространство. Все три ответа ($1/3$, $1/2$ и $1/4$) являются верными в рамках своей интерпретации условия задачи. Парадокс подчеркивает, что без уточнения механизма случайного выбора вопрос является неоднозначным.

2. Геометрия и вероятность. Задача Бюффона. Интегралы и приближённый подсчёт числа.

Задача Бюффона — это классическая задача из области геометрической вероятности, сформулированная в XVIII веке французским натуралистом, математиком и естествоиспытателем Жоржем-Луи Леклерком, графом де Бюффоном. Она стала одним из первых примеров применения метода Монте-Карло для решения математических проблем.

Задача Бюффона и геометрическая вероятность

Рассмотрим плоскость, расчерченную параллельными прямыми, находящимися на одинаковом расстоянии $T$ друг от друга. На эту плоскость случайным образом бросается игла длиной $L$. Требуется найти вероятность того, что игла пересечет одну из прямых. Для простоты будем рассматривать случай, когда длина иглы не превышает расстояния между линиями, то есть $L \le T$.

Положение иглы на плоскости можно однозначно определить двумя параметрами:

1. Расстояние $x$ от центра иглы до ближайшей параллельной прямой. Так как положение иглы случайно, можно считать, что $x$ — это случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0, T/2]$.
2. Угол $\theta$ между иглой и направлением параллельных прямых. Считаем, что $\theta$ — это случайная величина, равномерно распределенная на отрезке $[0, \pi]$.

Пространство всех возможных исходов можно представить в виде прямоугольника в системе координат $(\theta, x)$ с границами $0 \le \theta \le \pi$ и $0 \le x \le T/2$. Площадь этого прямоугольника (мера пространства всех исходов) равна: $S_{total} = \pi \cdot \frac{T}{2} = \frac{\pi T}{2}$

Теперь определим, при каком условии игла пересечет прямую. Проекция половины иглы на перпендикуляр к параллельным прямым равна $\frac{L}{2}\sin\theta$. Игла пересечет прямую, если расстояние от ее центра до этой прямой $x$ будет меньше или равно длине этой проекции. То есть, условие пересечения: $x \le \frac{L}{2}\sin\theta$

Это неравенство определяет область благоприятных исходов в нашем пространстве параметров $(\theta, x)$. Вероятность пересечения, согласно определению геометрической вероятности, будет равна отношению площади области благоприятных исходов к общей площади пространства исходов.

Ответ: Вероятность пересечения иглой прямой определяется как отношение площади области, заданной неравенством $x \le \frac{L}{2}\sin\theta$ на плоскости параметров $(\theta, x)$, к общей площади прямоугольника $S_{total} = \frac{\pi T}{2}$, где $x \in [0, T/2]$ и $\theta \in [0, \pi]$.

Вывод формулы вероятности с помощью интеграла

Чтобы найти площадь области благоприятных исходов $S_{fav}$, нужно проинтегрировать функцию, ограничивающую эту область сверху, $x = \frac{L}{2}\sin\theta$, по переменной $\theta$ в пределах от $0$ до $\pi$:

$S_{fav} = \int_{0}^{\pi} \frac{L}{2}\sin\theta \,d\theta$

Вычислим этот определенный интеграл:

$S_{fav} = \frac{L}{2} \int_{0}^{\pi} \sin\theta \,d\theta = \frac{L}{2} [-\cos\theta]_{0}^{\pi} = \frac{L}{2} (-\cos(\pi) - (-\cos(0))) = \frac{L}{2} (-(-1) - (-1)) = \frac{L}{2} (1 + 1) = L$

Таким образом, площадь области благоприятных исходов равна длине иглы $L$.

Теперь мы можем найти искомую вероятность $P$ как отношение площадей:

$P = \frac{S_{fav}}{S_{total}} = \frac{L}{\frac{\pi T}{2}} = \frac{2L}{\pi T}$

Это и есть знаменитая формула Бюффона для случая $L \le T$.

Ответ: Вероятность того, что игла длиной $L$ пересечет одну из параллельных прямых, расстояние между которыми равно $T$ (при $L \le T$), вычисляется по формуле $P = \frac{2L}{\pi T}$.

Экспериментальное определение числа $\pi$

Формулу Бюффона можно использовать для экспериментального определения числа $\pi$. Для этого преобразуем полученную формулу, выразив из нее $\pi$:

$\pi = \frac{2L}{P \cdot T}$

Вероятность $P$ можно оценить статистически. Проведем эксперимент: бросим иглу $N$ раз, где $N$ — достаточно большое число. Подсчитаем количество $K$ раз, когда игла пересекла линию. Тогда, согласно закону больших чисел, частота пересечений будет стремиться к теоретической вероятности:

$P \approx \frac{K}{N}$

Подставив это приближенное значение вероятности в нашу формулу для $\pi$, получим формулу для его приближенного расчета:

$\pi \approx \frac{2L}{T} \cdot \frac{N}{K}$

Для удобства эксперимента можно выбрать $L = T/2$. Тогда формула упростится:

$\pi \approx \frac{2(T/2)}{T} \cdot \frac{N}{K} = \frac{T}{T} \cdot \frac{N}{K} = \frac{N}{K}$

Этот метод является примером метода Монте-Карло, который использует случайные испытания для получения численных результатов. Однако для получения хорошей точности числа $\pi$ требуется огромное количество бросков, что делает этот метод практически неэффективным по сравнению с аналитическими методами. Тем не менее, он имеет большое теоретическое значение как связующее звено между теорией вероятностей, геометрией и анализом.

Ответ: Число $\pi$ можно приближенно вычислить на основе эксперимента, используя формулу $\pi \approx \frac{2L N}{T K}$, где $N$ — общее число бросков иглы, а $K$ — число пересечений.

3. Формула Бернулли и формула бинома Ньютона.

Формула Бернулли

Формула Бернулли используется в теории вероятностей для вычисления вероятности того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие $A$ произойдет ровно $k$ раз. При этом вероятность наступления события $A$ в каждом отдельном испытании постоянна и равна $p$. Вероятность того, что событие $A$ не наступит (противоположное событие), равна $q = 1 - p$.

Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли или испытаниями Бернулли. Основные условия применимости формулы:

• Количество испытаний $n$ фиксировано.
• Все испытания независимы друг от друга.
• Каждое испытание имеет только два исхода: "успех" (событие $A$ произошло) и "неудача" (событие $A$ не произошло).
• Вероятность "успеха" $p$ одинакова для всех испытаний.

Для нахождения искомой вероятности рассуждаем следующим образом. Рассмотрим одну конкретную последовательность, в которой было $k$ успехов и, соответственно, $n-k$ неудач. Поскольку испытания независимы, вероятность такой конкретной последовательности равна произведению вероятностей каждого исхода: $p^k \cdot q^{n-k}$.

Однако таких последовательностей может быть много. Например, при $n=3, k=2$ успехи могут быть на (1,2), (1,3) или (2,3) испытаниях. Количество способов выбрать $k$ "успешных" испытаний из $n$ возможных равно числу сочетаний из $n$ по $k$, которое обозначается как $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$.

Число сочетаний вычисляется по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, где $n!$ - это факториал числа $n$.

Итоговая формула Бернулли получается путем умножения вероятности одной конкретной последовательности на общее число таких последовательностей.

Ответ: Вероятность $P_n(k)$ того, что в $n$ независимых испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$, где $p$ – вероятность наступления события в одном испытании, а $q = 1 - p$.

Формула бинома Ньютона

Формула бинома Ньютона — это формула из алгебры для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени двучлена (бинома) $(a+b)$. Формула имеет вид:

$(a+b)^n = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^k a^{n-k} b^k + \dots + C_n^n a^0 b^n$.

Здесь $n$ — целое неотрицательное число, а коэффициенты $C_n^k$ (читается "це из эн по ка") называются биномиальными коэффициентами. Это те же самые числа сочетаний, которые используются в формуле Бернулли. Они показывают, сколькими способами можно выбрать $k$ элементов из множества $n$ элементов без учета порядка.

Используя знак суммирования, формулу бинома Ньютона можно записать более компактно:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$

Свойства разложения:

• В разложении ровно $n+1$ слагаемое.
• Сумма показателей степеней при $a$ и $b$ в каждом слагаемом равна $n$.
• Биномиальные коэффициенты, равноудаленные от концов разложения, равны: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Связь с формулой Бернулли: если взять бином $(q+p)^n$ и раскрыть его по формуле бинома Ньютона, то получим:$(q+p)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k q^{n-k} p^k$.Поскольку в теории вероятностей $p+q=1$, то $(q+p)^n = 1^n = 1$. Таким образом, $\sum_{k=0}^{n} P_n(k) = 1$, что означает, что сумма вероятностей всех возможных исходов (от 0 до $n$ успехов) равна единице. Члены разложения бинома Ньютона для $(q+p)^n$ в точности соответствуют вероятностям, вычисленным по формуле Бернулли для всех возможных $k$.

Ответ: Формула бинома Ньютона для разложения степени двучлена $(a+b)^n$ имеет вид: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальные коэффициенты.

4. Задачи на использование формулы Бернулли.

Поскольку на изображении представлено только название темы, а не конкретная задача, будет приведено общее объяснение формулы Бернулли и решён пример задачи на её использование.

Формула Бернулли применяется в теории вероятностей для нахождения вероятности того, что в серии из $n$ независимых испытаний некоторое событие $A$ наступит ровно $k$ раз. Ключевыми условиями для применения формулы являются независимость испытаний и постоянство вероятности наступления события $A$ в каждом испытании.

Сама формула выглядит следующим образом:

$$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$

Расшифровка обозначений в формуле:

$P_n(k)$ — искомая вероятность того, что в $n$ испытаниях событие $A$ произойдет ровно $k$ раз.

$n$ — общее число проведенных независимых испытаний.

$k$ — число наступлений события $A$ (число «успехов»).

$p$ — вероятность наступления события $A$ в одном испытании (вероятность «успеха»).

$q$ — вероятность ненаступления события $A$ в одном испытании (вероятность «неудачи»), которая вычисляется как $q = 1 - p$.

$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ «успешных» испытаний из $n$ общих. Рассчитывается по формуле: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Условие: Вероятность того, что стрелок попадет в мишень при одном выстреле, равна 0.7. Стрелок производит 5 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадет в мишень ровно 3 раза.

Решение:

Данная задача описывает серию независимых испытаний (выстрелов), где результат каждого испытания («попал» или «не попал») не зависит от других. Вероятность успеха постоянна. Следовательно, для решения можно использовать формулу Бернулли.

Определим параметры задачи:

Общее число испытаний $n = 5$ (всего 5 выстрелов).

Количество «успехов» $k = 3$ (требуется ровно 3 попадания).

Вероятность «успеха» в одном испытании (попадание в мишень) $p = 0.7$.

Вероятность «неудачи» в одном испытании (промах) $q = 1 - p = 1 - 0.7 = 0.3$.

Подставим эти значения в формулу Бернулли:

$$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.7)^3 \cdot (0.3)^{5-3}$$

Теперь вычислим каждый компонент формулы по отдельности.

1. Число сочетаний $C_5^3$:

$$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$$

2. Возведем в степень вероятности:

$(0.7)^3 = 0.343$

$(0.3)^2 = 0.09$

3. Соберем все вместе и вычислим итоговую вероятность:

$$P_5(3) = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087$$

Таким образом, вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 3 раза из 5, составляет 0.3087.

Ответ: $0.3087$

5. Меры центральной тенденции: мода, медиана, среднее.

Меры центральной тенденции — это числовые характеристики, которые описывают центральное или типичное значение в наборе данных. Они позволяют одним числом обобщить всю совокупность данных. К основным мерам центральной тенденции относятся мода, медиана и среднее арифметическое.

Мода

Мода ($M_o$) — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. Набор данных может иметь:

• Одну моду (унимодальный набор): когда только одно значение встречается чаще других. Пример: в наборе {1, 2, 4, 5, 5, 5, 6, 7} мода равна 5.

• Две моды (бимодальный набор): когда два разных значения имеют одинаковую и наибольшую частоту. Пример: в наборе {1, 2, 2, 3, 4, 4, 5} моды равны 2 и 4.

• Более двух мод (мультимодальный набор): когда несколько значений имеют одинаковую и наибольшую частоту.

• Отсутствие моды: когда все значения в наборе встречаются одинаковое количество раз. Пример: в наборе {1, 2, 3, 4, 5} моды нет.

Мода является единственной мерой центральной тенденции, которую можно использовать для качественных (категориальных) данных, например, для определения самого популярного цвета автомобиля или самой распространенной марки телефона.

Ответ: Мода — это наиболее часто встречающееся значение в выборке.

Медиана

Медиана ($M_e$) — это значение, которое делит упорядоченный набор данных ровно пополам. Половина значений в наборе будет меньше медианы, а другая половина — больше.

Алгоритм нахождения медианы:

1. Упорядочить все значения набора данных по возрастанию или убыванию.

2. Определить значение в середине ряда.

   • Если количество элементов в наборе ($n$) нечетное, медиана — это значение, стоящее точно посередине. Его номер можно найти по формуле: $(n+1)/2$.
     Пример: для набора {7, 2, 5, 1, 9} сначала упорядочим его: {1, 2, 5, 7, 9}. В наборе 5 элементов, медиана — это $(5+1)/2=3$-й элемент, то есть 5.

   • Если количество элементов в наборе ($n$) четное, медиана — это среднее арифметическое двух центральных значений. Их номера: $n/2$ и $n/2 + 1$.
     Пример: для набора {8, 2, 6, 4, 10, 12} упорядочим его: {2, 4, 6, 8, 10, 12}. В наборе 6 элементов, медиана — это среднее между $6/2=3$-м и $6/2+1=4$-м элементами. $M_e = (6 + 8) / 2 = 7$.

Главное преимущество медианы в том, что на нее не влияют экстремальные значения (выбросы). Поэтому медиану часто используют для описания данных с сильным разбросом, например, доходов населения.

Ответ: Медиана — это серединное значение упорядоченного ряда данных.

Среднее

Среднее, или среднее арифметическое ($\bar{x}$), — это самая распространенная мера центральной тенденции. Она вычисляется путем сложения всех значений в наборе данных и деления полученной суммы на количество этих значений.

Формула для расчета среднего арифметического:

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$

где $x_i$ — это каждое отдельное значение в наборе, а $n$ — общее количество значений.

Пример: найдем среднее для набора {3, 5, 7, 9}.

Сумма значений: $3 + 5 + 7 + 9 = 24$.

Количество значений: $n = 4$.

Среднее: $\bar{x} = 24 / 4 = 6$.

Среднее арифметическое является хорошим показателем центральной тенденции для данных, которые распределены симметрично и не имеют значительных выбросов. Однако, если в наборе есть очень большие или очень маленькие значения, они могут сильно сместить среднее, и оно перестанет быть хорошим представителем "типичного" значения.

Ответ: Среднее — это сумма всех значений в выборке, деленная на их количество.

6. Статистическая устойчивость и статистическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности применимо только к экспериментам с конечным числом равновозможных исходов. Однако на практике часто встречаются ситуации, где исходы не равновозможны или их число бесконечно. Для таких случаев используется статистический подход, основанный на понятии относительной частоты и свойстве статистической устойчивости.

Относительной частотой (или статистической частотой) события A в серии из n испытаний называется отношение числа m тех испытаний, в которых событие A наступило, к общему числу проведенных испытаний n. Обозначается как W(A):

$W(A) = \frac{m}{n}$

Например, если при 1000 подбрасываниях монеты орел выпал 496 раз, то относительная частота выпадения орла в данной серии испытаний равна $W(\text{орел}) = \frac{496}{1000} = 0.496$.

Статистическая устойчивость — это ключевое эмпирическое свойство, которое заключается в том, что при проведении большого числа однородных независимых испытаний относительная частота случайного события, несмотря на свою случайность в каждой отдельной серии, проявляет тенденцию к стабилизации. То есть, с увеличением числа испытаний n, значение относительной частоты W(A) колеблется всё меньше и меньше, приближаясь к некоторому постоянному числу. Это число и принимают за вероятность данного события.

Это свойство было подтверждено множеством экспериментов. Например:

• Французский естествоиспытатель Ж. Бюффон (XVIII в.) подбросил монету 4040 раз, и герб выпал 2048 раз. Относительная частота: $W(A) = \frac{2048}{4040} \approx 0.5069$.
• Английский математик К. Пирсон (начало XX в.) подбросил монету 24000 раз, герб выпал 12012 раз. Относительная частота: $W(A) = \frac{12012}{24000} \approx 0.5005$.

Как видно из примеров, с увеличением числа опытов относительная частота выпадения герба приближается к 0.5, что соответствует классическому определению вероятности.

На основе свойства статистической устойчивости вводится статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события A называется число P(A), около которого колеблется и к которому стремится относительная частота W(A) этого события при неограниченном увеличении числа испытаний n.

Математически это можно записать как предел (понимаемый в смысле теории вероятностей, в частности, закона больших чисел):

$P(A) = \lim_{n \to \infty} W(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m}{n}$

Таким образом, для достаточно большого числа испытаний n можно принять, что $P(A) \approx W(A)$.

Свойства и ограничения статистического определения:

• Достоинства: Оно основано на реальном опыте и применимо к широкому кругу задач, где классическое определение не работает. Оно позволяет оценить вероятности событий в реальных физических, биологических, экономических и социальных процессах.
• Недостатки:
  1. Определение является апостериорным, то есть для нахождения вероятности необходимо провести большое число испытаний, в то время как классическое определение — априорное (вероятность вычисляется до опыта).
  2. Результат, полученный на практике, всегда является лишь приближенным значением вероятности, так как провести бесконечное число испытаний невозможно.
  3. Сложно определить, какое число испытаний n является "достаточно большим".
  4. Требуется возможность многократного воспроизведения испытаний в одних и тех же условиях, что не всегда выполнимо (например, для уникальных исторических или экономических событий).

Ответ: Статистическая устойчивость — это эмпирически наблюдаемое явление, при котором относительная частота события в длинной серии независимых однородных испытаний стабилизируется, то есть колеблется около некоторого постоянного значения. Статистическое определение вероятности формулируется на основе этого явления: вероятностью события называют то постоянное число, к которому стремится его относительная частота при неограниченном увеличении числа испытаний. Это определение является опытным (апостериорным) и позволяет находить вероятности событий, для которых неприменимо классическое определение.

7. Свойства гауссовой функции и её применения в статистических задачах.

Свойства гауссовой функции

Гауссова функция, или гауссиан, — это функция, которая описывает множество природных явлений и является основой для нормального распределения в теории вероятностей и статистике. В общем виде она записывается как: $f(x) = a \cdot e^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}$ , где $a$ — высота пика (амплитуда), $b$ — положение центра пика (математическое ожидание), а $c$ — ширина кривой (стандартное отклонение).

В статистике чаще всего используется стандартизированная форма гауссовой функции, известная как плотность вероятности нормального распределения: $f(x | \mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ Здесь $\mu$ — это математическое ожидание (среднее), а $\sigma$ — стандартное отклонение ($\sigma^2$ — дисперсия). Эта функция обладает следующими ключевыми свойствами:

1. Форма и симметрия: График функции имеет характерную колоколообразную форму (bell curve) и симметричен относительно вертикальной прямой $x = \mu$. Это означает, что $f(\mu - \delta) = f(\mu + \delta)$ для любого $\delta$.

2. Максимум: Функция достигает своего единственного максимума в точке $x = \mu$. Значение этого максимума равно $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$. Чем меньше стандартное отклонение $\sigma$, тем выше и уже пик.

3. Точки перегиба: График имеет две точки перегиба, в которых кривизна меняет свой знак. Эти точки находятся на расстоянии одного стандартного отклонения от среднего: $x = \mu \pm \sigma$.

4. Асимптоты: Ось абсцисс ($y=0$) является горизонтальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, значение функции стремится к нулю, но никогда его не достигает.

5. Интеграл по всей оси: Полная площадь под кривой гауссиана равна единице, что является обязательным свойством для любой функции плотности вероятности: $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} dx = 1$

6. Правило трех сигм (68–95–99.7): Это эмпирическое правило описывает долю значений, находящихся в пределах определенного количества стандартных отклонений от среднего:
- Примерно 68.27% всех значений лежат в интервале $(\mu - \sigma, \mu + \sigma)$.
- Примерно 95.45% всех значений лежат в интервале $(\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma)$.
- Примерно 99.73% всех значений лежат в интервале $(\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)$.

Ответ: Гауссова функция — это симметричная колоколообразная функция, полностью определяемая двумя параметрами (средним значением и стандартным отклонением), площадь под графиком которой равна единице. Ключевые свойства включают максимум в среднем значении, точки перегиба на расстоянии одного стандартного отклонения и правило трех сигм, описывающее распределение данных.

Применения гауссовой функции в статистических задачах

Благодаря своим уникальным свойствам и связи с нормальным распределением, гауссова функция является одной из самых важных и широко используемых в статистике.

1. Центральная предельная теорема (ЦПТ): Это фундаментальная теорема статистики, которая гласит, что сумма (или среднее арифметическое) достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы, имеет распределение, близкое к нормальному, даже если исходные распределения самих величин не являются нормальными. Это объясняет, почему нормальное распределение так часто встречается в природе и используется для моделирования ошибок измерений, биологических признаков (рост, вес) и многих других явлений.

2. Статистический вывод (доверительные интервалы и проверка гипотез):
- Доверительные интервалы: Гауссова функция (через нормальное распределение) используется для построения доверительных интервалов для оценки неизвестных параметров генеральной совокупности, например, среднего значения. Для достаточно большой выборки 95%-ный доверительный интервал для среднего $\mu$ рассчитывается как $\bar{x} \pm 1.96 \frac{s}{\sqrt{n}}$, где $\bar{x}$ — выборочное среднее, $s$ — выборочное стандартное отклонение, а $n$ — размер выборки.
- Проверка гипотез: Многие статистические тесты (z-тест, t-тест для больших выборок) основаны на предположении о нормальности данных. Тестовая статистика, рассчитанная по выборке, сравнивается с критическими значениями из стандартного нормального распределения для принятия решения об отвержении или принятии нулевой гипотезы.

3. Регрессионный анализ: В классической линейной регрессии часто предполагается, что ошибки (остатки) модели распределены нормально. Это предположение позволяет доказать, что оценки, полученные методом наименьших квадратов (МНК), являются не только несмещенными и эффективными, но и оценками максимального правдоподобия.

4. Машинное обучение:
- Гауссовский наивный байесовский классификатор: В этом алгоритме предполагается, что непрерывные признаки для каждого класса имеют гауссово распределение.
- Модели гауссовых смесей (Gaussian Mixture Models, GMM): Используются для кластеризации. GMM представляет данные как смесь нескольких гауссовых распределений, что позволяет находить кластеры эллипсоидной формы.
- Гауссовские процессы: Мощный непараметрический метод для решения задач регрессии и классификации, который определяет распределение над функциями.

5. Обработка сигналов и изображений: Гауссовские фильтры широко применяются для сглаживания данных, подавления шума и размытия изображений. Преобразование Фурье гауссовой функции также является гауссовой функцией, что делает ее удобной для анализа в частотной области.

Ответ: Гауссова функция, лежащая в основе нормального распределения, является фундаментальной в статистике благодаря Центральной предельной теореме. Она применяется для построения доверительных интервалов, проверки гипотез, в регрессионном анализе (метод наименьших квадратов), а также в современных областях, таких как обработка сигналов и машинное обучение (например, в классификаторах, моделях кластеризации и регрессии).