Страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.29. При каких значениях a:

а) уравнение $5^{2x} - 3 \cdot 5^x + a - 1 = 0$ имеет единственный корень;

б) уравнение $0.01^x - 2(a + 1) \cdot 0.1^x + 4 = 0$ не имеет корней?

а) уравнение $5^{2x} - 3 \cdot 5^x + a - 1 = 0$ имеет единственный корень;

Данное уравнение является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как показательная функция $y=5^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 3t + a - 1 = 0$

Исходное уравнение имеет единственный корень, если полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень, и этот корень положителен.

Квадратное уравнение имеет один корень, когда его дискриминант $D$ равен нулю.

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 1) = 9 - 4a + 4 = 13 - 4a$.

$D = 0 \implies 13 - 4a = 0 \implies a = \frac{13}{4}$.

При этом значении $a$ корень уравнения $t = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$.

Так как $t = \frac{3}{2} > 0$, это условие нам подходит. При $a = \frac{13}{4}$ исходное уравнение имеет единственный корень $x = \log_5(\frac{3}{2})$.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них является положительным.

Это возможно, если один корень положительный, а другой — отрицательный или равен нулю. Для наличия двух различных корней дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0 \implies 13 - 4a > 0 \implies a < \frac{13}{4}$.

Пусть $t_1$ и $t_2$ — корни квадратного уравнения. По теореме Виета:

$t_1 + t_2 = 3$

$t_1 \cdot t_2 = a - 1$

Подслучай 2.1: Один корень положительный, другой — отрицательный.

В этом случае произведение корней должно быть отрицательным: $t_1 \cdot t_2 < 0$.

$a - 1 < 0 \implies a < 1$.

Это условие ($a < 1$) обеспечивает, что $D = 13 - 4a > 13 - 4 = 9 > 0$, так что два различных корня действительно существуют. Один из них будет положительным, а другой отрицательным, что даст один корень для исходного уравнения.

Подслучай 2.2: Один корень положительный, другой — равен нулю.

Если один из корней, например $t_1$, равен 0, то их произведение $t_1 \cdot t_2 = 0$.

$a - 1 = 0 \implies a = 1$.

При $a = 1$ уравнение для $t$ имеет вид $t^2 - 3t = 0$, или $t(t-3)=0$. Корни $t_1 = 0$ и $t_2 = 3$.

Корень $t_1 = 0$ не дает решения для $x$, так как $5^x$ не может быть равно нулю. Корень $t_2 = 3$ дает единственное решение $x = \log_5(3)$. Следовательно, $a=1$ нам подходит.

Объединим все найденные значения $a$:

$a = \frac{13}{4}$

$a < 1$

$a = 1$

Таким образом, искомые значения $a$ принадлежат множеству $(-\infty; 1] \cup \{\frac{13}{4}\}$.

Ответ: $a \in (-\infty; 1] \cup \{\frac{13}{4}\}$.

б) уравнение $0,01^x - 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0$ не имеет корней?

Заметим, что $0,01^x = (0,1^2)^x = (0,1^x)^2$. Уравнение можно переписать в виде:

$(0,1^x)^2 - 2(a + 1) \cdot 0,1^x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 0,1^x$. Так как $0,1^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - 2(a + 1)t + 4 = 0$

Исходное уравнение не имеет корней, если полученное квадратное уравнение не имеет положительных корней. Это происходит в двух случаях:

Случай 1: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ отрицателен.

$D = (-2(a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4(a + 1)^2 - 16$.

$D < 0 \implies 4(a + 1)^2 - 16 < 0 \implies (a + 1)^2 < 4$.

Извлекая корень из обеих частей, получаем $|a + 1| < 2$, что равносильно системе неравенств:

$-2 < a + 1 < 2 \implies -3 < a < 1$.

При $a \in (-3; 1)$ уравнение для $t$ не имеет действительных корней, а значит, и исходное уравнение не имеет корней.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет действительные корни (один или два), но все они неположительны ($t \le 0$).

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$.

$4(a + 1)^2 - 16 \ge 0 \implies (a + 1)^2 \ge 4 \implies |a + 1| \ge 2$.

Это дает нам $a + 1 \ge 2$ или $a + 1 \le -2$, откуда $a \ge 1$ или $a \le -3$.

Пусть $t_1$ и $t_2$ — корни уравнения. Чтобы оба корня были неположительными ($t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$), по теореме Виета должны выполняться следующие условия:

1. $t_1 \cdot t_2 \ge 0$

2. $t_1 + t_2 \le 0$

Проверим эти условия для нашего уравнения $t^2 - 2(a + 1)t + 4 = 0$:

1. Произведение корней: $t_1 \cdot t_2 = 4$. Так как $4 > 0$, это условие всегда выполнено, и корни (если они есть) имеют одинаковый знак. Поскольку нам нужны неположительные корни, они оба должны быть отрицательными.

2. Сумма корней: $t_1 + t_2 = 2(a + 1)$. Для того чтобы оба корня были отрицательными, их сумма должна быть отрицательной.

$2(a + 1) < 0 \implies a + 1 < 0 \implies a < -1$.

Теперь объединим условия для этого случая: корни существуют ($a \ge 1$ или $a \le -3$) и они оба отрицательны ($a < -1$).

Пересечение этих условий: $(a \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty)) \cap (-\infty; -1)$ дает $a \in (-\infty; -3]$.

Итак, при $a \le -3$ уравнение для $t$ имеет два (или один при $a=-3$) отрицательных корня, что не дает решений для $x$.

Объединение результатов:

Исходное уравнение не имеет корней, если $a$ принадлежит объединению множеств, найденных в случаях 1 и 2:

$a \in (-3; 1) \cup (-\infty; -3]$.

Объединяя эти интервалы, получаем $a \in (-\infty; 1)$.

Ответ: $a < 1$.

34.30. При каких значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $9^x + (a + 4) \cdot 3^x + 4a = 0;$

б) $25^x - (a - 2) \cdot 5^x - 2a = 0?$

а) $9^x + (a + 4) \cdot 3^x + 4a = 0$

Данное уравнение является показательным. Сделаем замену переменной, чтобы свести его к квадратному. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$.

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$. Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + (a + 4)t + 4a = 0$

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень $t > 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно применить теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = -(a+4)$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 4a$. Легко подобрать корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = -a$. Проверим: $t_1+t_2 = -4-a = -(a+4)$ и $t_1 \cdot t_2 = (-4)(-a) = 4a$. Корни найдены верно.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = (a+4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4a = a^2 + 8a + 16 - 16a = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$

$t = \frac{-(a+4) \pm \sqrt{(a-4)^2}}{2} = \frac{-a-4 \pm |a-4|}{2}$

Вне зависимости от знака выражения $a-4$, после раскрытия модуля мы получим корни $t_1 = -4$ и $t_2 = -a$.

Итак, корни квадратного уравнения: $t_1 = -4$ и $t_2 = -a$.

Чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, нам нужен хотя бы один положительный корень для $t$.

Корень $t_1 = -4$ является отрицательным, поэтому он не дает решений для $x$, так как уравнение $3^x = -4$ не имеет действительных корней.

Следовательно, второй корень $t_2 = -a$ должен быть положительным:

$t_2 > 0 \implies -a > 0 \implies a < 0$.

Если $a < 0$, то $t_2 = -a$ - это положительный корень. Тогда уравнение $3^x = -a$ имеет единственный действительный корень $x = \log_3(-a)$.

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при $a < 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0)$.

б) $25^x - (a - 2) \cdot 5^x - 2a = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Учитывая, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 = t^2$, перепишем уравнение в виде квадратного относительно $t$:

$t^2 - (a - 2)t - 2a = 0$

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень $x$ в том и только в том случае, если квадратное уравнение для $t$ имеет хотя бы один положительный корень $t > 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = a-2$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -2a$. Можно заметить, что корнями являются числа $a$ и $-2$, так как их сумма равна $a + (-2) = a-2$, а произведение $a \cdot (-2) = -2a$.

Или найдем корни через дискриминант:

$D = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = (a-2)^2 + 8a = a^2 - 4a + 4 + 8a = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$

$t = \frac{a-2 \pm \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{a-2 \pm |a+2|}{2}$

Раскрывая модуль, в любом случае получаем корни $t_1 = a$ и $t_2 = -2$.

Итак, корни квадратного уравнения: $t_1 = a$ и $t_2 = -2$.

Для существования решения исходного уравнения нам нужен хотя бы один положительный корень для $t$.

Корень $t_2 = -2$ всегда отрицательный, поэтому он не может дать решение для $x$, так как уравнение $5^x = -2$ не имеет действительных корней.

Значит, корень $t_1 = a$ должен быть положительным:

$t_1 > 0 \implies a > 0$.

Если $a > 0$, то $t_1 = a$ - положительный корень. Уравнение $5^x = a$ будет иметь единственный действительный корень $x = \log_5(a)$.

Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при $a > 0$.

Ответ: $a \in (0; +\infty)$.

34.31. Решите уравнение:

a) $\sqrt{a \cos 2x + 3 \sin 2x} = \cos x$, если известно, что $x = 0$ — корень уравнения;

б) $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x$, если известно, что $x = -\frac{\pi}{2}$ — корень уравнения.

a)

По условию, $x=0$ является корнем уравнения $\sqrt{a \cos 2x + 3 \sin 2x} = \cos x$. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти параметр $a$.

При $x=0$ имеем $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$, $\sin(2 \cdot 0) = \sin(0) = 0$ и $\cos(0)=1$.

$\sqrt{a \cdot 1 + 3 \cdot 0} = 1$

$\sqrt{a} = 1$

Возводя обе части в квадрат, получаем $a=1$.

Теперь решим уравнение при $a=1$:

$\sqrt{\cos 2x + 3 \sin 2x} = \cos x$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \cos 2x + 3 \sin 2x = \cos^2 x, \\ \cos x \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы. Используем формулы двойного угла $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$ и $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$.

$(\cos^2 x - \sin^2 x) + 3(2 \sin x \cos x) = \cos^2 x$

$-\sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (6 \cos x - \sin x) = 0$

Отсюда следует, что либо $\sin x = 0$, либо $6 \cos x - \sin x = 0$.

1. Если $\sin x = 0$, то $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\cos x \ge 0$. При $x=k\pi$, $\cos(k\pi) = (-1)^k$. Неравенство $(-1)^k \ge 0$ выполняется только для четных $k$. Положим $k=2n$, тогда $x = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $6 \cos x - \sin x = 0$, то $\sin x = 6 \cos x$.
Если предположить, что $\cos x = 0$, то из уравнения следует, что $\sin x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Следовательно, $\cos x \neq 0$ и можно разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\tan x = 6$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(6) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\cos x \ge 0$. Так как $\tan x = 6 > 0$, угол $x$ находится в I или III координатной четверти. Условию $\cos x \ge 0$ удовлетворяют углы в I и IV четвертях. Следовательно, угол $x$ должен быть в I четверти. Это соответствует четным значениям $k$. Положим $k=2n$, тогда $x = \arctan(6) + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя найденные решения, получаем две серии корней.

Ответ: $x = 2k\pi, x = \arctan(6) + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

б)

По условию, $x = -\frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x$. Подставим это значение в уравнение для нахождения параметра $a$.

При $x = -\frac{\pi}{2}$ имеем $2x = -\pi$. Тогда $\sin(2x) = \sin(-\pi) = 0$, $\cos(2x) = \cos(-\pi) = -1$ и $\sin(x) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

$\sqrt{2 \cdot 0 - a \cdot (-1)} = -(-1)$

$\sqrt{a} = 1$

Отсюда $a=1$.

Теперь решим уравнение при $a=1$:

$\sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} = -\sin x$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2 \sin 2x - \cos 2x = (-\sin x)^2, \\ -\sin x \ge 0 \end{cases}$

Второе условие можно переписать как $\sin x \le 0$.

Решим первое уравнение системы. Используем формулы двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ и $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.

$2(2 \sin x \cos x) - (1 - 2\sin^2 x) = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - 1 + 2\sin^2 x = \sin^2 x$

$4 \sin x \cos x - 1 + \sin^2 x = 0$

Используя основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, получаем:

$4 \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin^2 x = 0$

$4 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$\cos x (4 \sin x - \cos x) = 0$

Отсюда следует, что либо $\cos x = 0$, либо $4 \sin x - \cos x = 0$.

1. Если $\cos x = 0$, то $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \le 0$.
Если $x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (четные $k$), то $\sin x = 1 > 0$. Эти корни не подходят.
Если $x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (нечетные $k$), то $\sin x = -1 \le 0$. Эти корни подходят.

2. Если $4 \sin x - \cos x = 0$, то $4 \sin x = \cos x$.
Так как $\cos x=0$ не является решением этого уравнения, разделим обе части на $\cos x$:

$\tan x = \frac{1}{4}$

Решения этого уравнения: $x = \arctan(\frac{1}{4}) + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим условие $\sin x \le 0$. Так как $\tan x = \frac{1}{4} > 0$, угол $x$ находится в I или III координатной четверти. Условию $\sin x \le 0$ удовлетворяют углы в III и IV четвертях. Следовательно, угол $x$ должен быть в III четверти. Это соответствует нечетным значениям $k$. Положим $k=2n+1$, тогда $x = \arctan(\frac{1}{4}) + (2n+1)\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяя найденные решения, получаем две серии корней.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, x = \arctan(\frac{1}{4}) + (2k+1)\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

34.32. При каких значениях $a$ уравнение имеет ровно три корня:

a) $x(x + 3)^2 + a = 0;$

б) $x^3 - 12x + 1 = a?$

а) Рассмотрим уравнение $x(x + 3)^2 + a = 0$. Это уравнение с параметром $a$. Чтобы найти количество корней, применим графический метод. Перепишем уравнение в виде $x(x + 3)^2 = -a$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x(x + 3)^2$ и горизонтальной прямой $y = -a$. Для анализа функции $f(x)$ и построения ее эскиза, найдем ее экстремумы с помощью производной. Раскроем скобки в выражении для функции: $f(x) = x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(x) = 0$. $3x^2 + 12x + 9 = 0$ Разделим обе части на 3: $x^2 + 4x + 3 = 0$. Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Это критические точки. Определим знак производной на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$ и $(-1, \infty)$, чтобы выяснить характер экстремумов. - При $x \in (-\infty, -3)$, $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. - При $x \in (-3, -1)$, $f'(x) < 0$, значит, функция убывает. - При $x \in (-1, \infty)$, $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. Таким образом, в точке $x = -3$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x = -1$ — локальный минимум. Вычислим значения функции в этих точках экстремума: $y_{max} = f(-3) = -3(-3 + 3)^2 = -3 \cdot 0 = 0$. $y_{min} = f(-1) = -1(-1 + 3)^2 = -1 \cdot (2)^2 = -4$. Уравнение будет иметь ровно три различных корня, если прямая $y = -a$ будет расположена строго между локальным максимумом и локальным минимумом. Это соответствует неравенству: $y_{min} < -a < y_{max}$. $-4 < -a < 0$. Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $4 > a > 0$. Это можно записать как $0 < a < 4$. Ответ: $a \in (0; 4)$.

б) Рассмотрим уравнение $x^3 - 12x + 1 = a$. Это уравнение уже представлено в виде, удобном для графического анализа. Количество его корней равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 - 12x + 1$ и горизонтальной прямой $y = a$. Исследуем функцию $f(x)$ на экстремумы с помощью производной. Найдем производную: $f'(x) = (x^3 - 12x + 1)' = 3x^2 - 12$. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x^2 - 12 = 0$ $3x^2 = 12$ $x^2 = 4$ Критическими точками являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Определим знак производной на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$. - При $x \in (-\infty, -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (-2, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (2, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. Следовательно, в точке $x = -2$ функция достигает локального максимума, а в точке $x = 2$ — локального минимума. Найдем значения функции в этих точках: Локальный максимум: $y_{max} = f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 1 = -8 + 24 + 1 = 17$. Локальный минимум: $y_{min} = f(2) = 2^3 - 12(2) + 1 = 8 - 24 + 1 = -15$. Уравнение будет иметь ровно три различных корня, если значение параметра $a$ (которое задает положение горизонтальной прямой $y=a$) будет находиться строго между значениями локального максимума и минимума. То есть, должно выполняться неравенство: $y_{min} < a < y_{max}$. $-15 < a < 17$. Ответ: $a \in (-15; 17)$.

34.33. При каких значениях $a$:

а) уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = a$ не имеет корней;

б) уравнение $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 = a$ имеет не менее трёх корней?

а)

Рассмотрим уравнение $x^4 - 8x^2 + 4 = a$. Количество корней этого уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 4$ и горизонтальной прямой $y=a$. Уравнение не имеет корней, если прямая $y=a$ не пересекает график функции $f(x)$, то есть когда значение $a$ меньше глобального минимума функции $f(x)$.

Для нахождения минимума функции исследуем ее с помощью производной.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^4 - 8x^2 + 4)' = 4x^3 - 16x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4x^3 - 16x = 0$
$4x(x^2 - 4) = 0$
$4x(x - 2)(x + 2) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$.

Вычислим значения функции в этих точках:
$f(0) = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + 4 = 4$
$f(2) = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$
$f(-2) = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + 4 = 16 - 32 + 4 = -12$

Поскольку старший коэффициент многочлена положителен, ветви графика функции направлены вверх, то есть $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$. Следовательно, наименьшее значение, которое принимает функция, равно $-12$. Это глобальный минимум функции.

Таким образом, уравнение $f(x) = a$ не имеет корней, если прямая $y=a$ проходит ниже минимального значения функции, то есть при $a < -12$.

Ответ: $a \in (-\infty; -12)$.

б)

Рассмотрим уравнение $3x^4 + 4x^3 - 12x^2 = a$. Чтобы найти, при каких значениях $a$ это уравнение имеет не менее трёх корней, исследуем функцию $g(x) = 3x^4 + 4x^3 - 12x^2$. Количество корней уравнения равно числу точек пересечения графика функции $y = g(x)$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Найдем точки экстремума функции $g(x)$ с помощью производной.

$g'(x) = (3x^4 + 4x^3 - 12x^2)' = 12x^3 + 12x^2 - 24x$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$12x^3 + 12x^2 - 24x = 0$
$12x(x^2 + x - 2) = 0$
$12x(x + 2)(x - 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Найдем значения функции в этих точках (значения в экстремумах):
$g(-2) = 3(-2)^4 + 4(-2)^3 - 12(-2)^2 = 3 \cdot 16 + 4 \cdot (-8) - 12 \cdot 4 = 48 - 32 - 48 = -32$.
$g(0) = 3 \cdot 0^4 + 4 \cdot 0^3 - 12 \cdot 0^2 = 0$.
$g(1) = 3 \cdot 1^4 + 4 \cdot 1^3 - 12 \cdot 1^2 = 3 + 4 - 12 = -5$.

Так как старший коэффициент многочлена положителен, $\lim_{x \to \pm\infty} g(x) = +\infty$. На основе найденных значений можно сделать вывод о поведении графика функции. Функция имеет локальные минимумы в точках $x=-2$ (значение $-32$) и $x=1$ (значение $-5$), и локальный максимум в точке $x=0$ (значение $0$).

Проанализируем количество корней уравнения $g(x) = a$ в зависимости от значения $a$:
- Если $a > 0$, уравнение имеет 2 корня.
- Если $a = 0$, уравнение имеет 3 различных корня.
- Если $-5 < a < 0$, уравнение имеет 4 различных корня.
- Если $a = -5$, уравнение имеет 3 различных корня.
- Если $-32 < a < -5$, уравнение имеет 2 корня.
- Если $a = -32$, уравнение имеет 1 корень (кратности 2).
- Если $a < -32$, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение имеет не менее трёх корней, когда прямая $y=a$ пересекает график в трёх или четырёх точках. Это происходит при $a=0$ (3 корня), при $-5 < a < 0$ (4 корня) и при $a=-5$ (3 корня).

Объединяя эти случаи, получаем, что условие выполняется для всех $a$ из промежутка $[-5, 0]$.

Ответ: $a \in [-5; 0]$.

34.34. При каждом значении параметра a найдите число различных корней уравнения:

a) $\sqrt{x} = x - a$;

б) $\sqrt{4 - x^2} = x + a$.

Рассмотрим данное уравнение $\sqrt{x} = x - a$. Число его различных корней равно числу точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x - a$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x = y^2$, лежащая в первой координатной четверти. Она начинается в точке $(0, 0)$ и является возрастающей и выпуклой вверх.

График функции $y = x - a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой по оси Oy (y-перехват равен $-a$).

Для определения числа точек пересечения найдем ключевые положения прямой $y = x - a$ относительно графика $y = \sqrt{x}$.

1. Случай касания. Прямая $y = x - a$ касается графика $y = \sqrt{x}$. В точке касания $(x_0, y_0)$ угловой коэффициент касательной равен производной функции $y = \sqrt{x}$.

Производная $y' = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Угловой коэффициент прямой $y = x - a$ равен 1. Приравниваем: $\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$, откуда $\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$, то есть $x_0 = \frac{1}{4}$.

Тогда $y_0 = \sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$. Точка касания — $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$.

Подставим координаты этой точки в уравнение прямой, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$\frac{1}{2} = \frac{1}{4} - a \implies a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

При $a = -\frac{1}{4}$ прямая касается графика, следовательно, уравнение имеет один корень.

2. Прямая проходит через начальную точку графика. График $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0, 0)$. Найдем значение $a$, при котором прямая $y = x - a$ проходит через эту точку:

$0 = 0 - a \implies a = 0$.

При $a=0$ уравнение принимает вид $\sqrt{x} = x$. Возведя в квадрат, получим $x = x^2$, или $x(x-1)=0$. Корни $x=0$ и $x=1$. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Таким образом, при $a=0$ уравнение имеет два корня.

Теперь проанализируем число корней в зависимости от значения $a$:

• Если прямая $y=x-a$ лежит выше касательной (ее y-перехват $-a$ больше, чем $1/4$), то пересечений нет. $-a > \frac{1}{4} \implies a < -\frac{1}{4}$. В этом случае корней нет.
• Если $a = -\frac{1}{4}$, имеем касание, один корень.
• Если прямая расположена между касательной и прямой, проходящей через начало координат (то есть $0 \le -a < \frac{1}{4}$), то она пересекает график в двух точках. $0 \le -a < \frac{1}{4} \implies -\frac{1}{4} < a \le 0$. В этом случае два корня.
• Если прямая расположена ниже прямой, проходящей через начало координат (то есть $-a < 0 \implies a > 0$), она пересекает график $y=\sqrt{x}$ только в одной точке. В этом случае один корень.

Ответ:

• при $a < -\frac{1}{4}$ корней нет;
• при $a = -\frac{1}{4}$ или $a > 0$ — один корень;
• при $-\frac{1}{4} < a \le 0$ — два корня.

Рассмотрим уравнение $\sqrt{4 - x^2} = x + a$. Число его корней равно числу точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{4 - x^2}$ и $y = x + a$.

График функции $y = \sqrt{4 - x^2}$ получается из уравнения $y^2 = 4 - x^2$, или $x^2 + y^2 = 4$, с условием $y \ge 0$. Это верхняя полуокружность с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Область определения функции: $x \in [-2, 2]$.

График функции $y = x + a$ — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $a$ является y-перехватом и отвечает за вертикальный сдвиг прямой.

Найдем ключевые положения прямой относительно полуокружности.

1. Прямая проходит через концы полуокружности.

Правый конец — точка $(2, 0)$. Подставляем в уравнение прямой: $0 = 2 + a \implies a = -2$. При $a=-2$ уравнение имеет один корень $x=2$.

Левый конец — точка $(-2, 0)$. Подставляем в уравнение прямой: $0 = -2 + a \implies a = 2$. При $a=2$ уравнение $\sqrt{4-x^2}=x+2$ имеет два корня: $x=-2$ и $x=0$.

2. Прямая касается полуокружности.

Касание произойдет, когда расстояние от центра окружности $(0, 0)$ до прямой $x - y + a = 0$ будет равно радиусу $R=2$.

Используем формулу расстояния от точки до прямой: $d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.

$d = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + a|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$.

Приравниваем расстояние радиусу: $\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 2 \implies |a| = 2\sqrt{2}$.

Так как мы рассматриваем верхнюю полуокружность, касание возможно только сверху, где $y>0$. Это соответствует прямой $y = x + 2\sqrt{2}$, то есть $a = 2\sqrt{2}$. При этом значении $a$ уравнение имеет один корень. Прямая $y = x - 2\sqrt{2}$ (при $a=-2\sqrt{2}$) касается нижней полуокружности и не имеет общих точек с графиком $y=\sqrt{4-x^2}$.

Проанализируем число корней в зависимости от значения $a$:

• Если $a > 2\sqrt{2}$, прямая лежит выше касательной и не пересекает полуокружность. Корней нет.
• Если $a = 2\sqrt{2}$, прямая касается полуокружности в одной точке. Один корень.
• Если $2 \le a < 2\sqrt{2}$, прямая пересекает полуокружность в двух точках (обе точки имеют $y \ge 0$). Два корня.
• Если $-2 < a < 2$, прямая пересекает полную окружность в двух точках, но только одна из них лежит на верхней полуокружности (имеет $y \ge 0$). Один корень.
• Если $a = -2$, прямая проходит через правую крайнюю точку $(2,0)$. Один корень.
• Если $a < -2$, прямая проходит ниже полуокружности. Корней нет.

Ответ:

• при $a < -2$ или $a > 2\sqrt{2}$ корней нет;
• при $a \in [-2, 2)$ или $a = 2\sqrt{2}$ — один корень;
• при $a \in [2, 2\sqrt{2})$ — два корня.

34.35. При каких значениях $p$ уравнение $|3x + 6| = px + 2$ имеет:

a) один корень;

б) два корня?

Для решения данной задачи с параметром $p$ воспользуемся графическим методом. Исходное уравнение $|3x + 6| = px + 2$ можно представить как равенство двух функций: $y_1 = |3x + 6|$ и $y_2 = px + 2$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков этих функций.

Построим график функции $y_1 = |3x + 6|$. Это V-образный график. Вершина графика находится в точке, где выражение под модулем равно нулю: $3x + 6 = 0$, то есть $x = -2$. Координаты вершины: $(-2, 0)$. График состоит из двух лучей:

• $y = 3x + 6$ при $x \ge -2$ (правый луч с угловым коэффициентом $k=3$).
• $y = -(3x + 6) = -3x - 6$ при $x < -2$ (левый луч с угловым коэффициентом $k=-3$).

График функции $y_2 = px + 2$ — это семейство прямых, проходящих через точку $(0, 2)$ (так как при $x=0$, $y_2=2$ для любого $p$). Параметр $p$ является угловым коэффициентом этих прямых.

Таким образом, задача сводится к нахождению количества точек пересечения V-образного графика с вершиной в $(-2, 0)$ и прямой, вращающейся вокруг точки $(0, 2)$.

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y = px + 2$ и график $y = |3x + 6|$ имеют ровно одну общую точку. Проанализируем различные значения параметра $p$, соответствующие критическим положениям прямой:

• Прямая проходит через вершину графика $y = |3x + 6|$, точку $(-2, 0)$. Подставив координаты в уравнение прямой, получим: $0 = p(-2) + 2$, откуда $-2p = -2$, что дает $p = 1$. При этом значении $p$ имеется ровно одно решение $x=-2$.

• Прямая параллельна одному из лучей. Угловые коэффициенты лучей равны $3$ и $-3$.

  • При $p = -3$, прямая $y = -3x+2$ параллельна левому лучу $y=-3x-6$ и лежит выше него, поэтому не пересекает его. Однако она пересекает правый луч $y=3x+6$ в точке $x=-2/3$ (так как $-3x+2=3x+6 \implies 6x=-4$), что дает один корень.

  • При $p = 3$, прямая $y = 3x+2$ параллельна правому лучу $y=3x+6$ и лежит ниже него, не пересекая его. С левым лучом она также не имеет пересечений в его области определения ($x<-2$). Поэтому при $p=3$ корней нет.

Рассматривая интервалы между критическими значениями и за их пределами:

• При $p < -3$, прямая (например, $y=-4x+2$) пересекает только правый луч. Один корень.

• При $p > 3$, прямая (например, $y=4x+2$) пересекает только правый луч. Один корень.

Суммируя все случаи, получаем, что уравнение имеет один корень при $p=1$, а также при $p \le -3$ и $p > 3$.

Ответ: $p \in (-\infty, -3] \cup \{1\} \cup (3, \infty)$.

Уравнение имеет два корня, когда прямая $y = px + 2$ пересекает график $y = |3x + 6|$ в двух различных точках. Это происходит, когда прямая пересекает оба луча V-образного графика.

Из графического анализа следует, что такая ситуация возникает, когда наклон прямой $p$ находится в интервале между наклоном прямой, параллельной левому лучу ($p=-3$), и наклоном прямой, проходящей через вершину ($p=1$).

Когда $p$ становится равным $-3$, одна из точек пересечения "уходит на бесконечность" (прямая становится параллельной левому лучу), и остается один корень. Когда $p$ становится равным $1$, две точки пересечения сливаются в одну (в вершине), и также остается один корень.

Следовательно, два корня существуют при $-3 < p < 1$.

Ответ: $p \in (-3, 1)$.

34.36. При каких значениях $a$ существуют два решения:

а) системы $\begin{cases} y = |x - 2| \\ y = ax + 1; \end{cases}$

б) уравнения $|x + 4| = ax + 2?$

a)

Задача сводится к нахождению числа точек пересечения графиков функций $y = |x - 2|$ и $y = ax + 1$ в зависимости от параметра $a$.

График функции $y = |x - 2|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей, с вершиной в точке $(2, 0)$.
При $x \ge 2$, $y = x - 2$ (луч с угловым коэффициентом 1).
При $x < 2$, $y = -(x - 2) = -x + 2$ (луч с угловым коэффициентом -1).

График функции $y = ax + 1$ — это семейство прямых (пучок), проходящих через точку $(0, 1)$ с угловым коэффициентом $a$.

Количество решений системы равно количеству корней уравнения $|x - 2| = ax + 1$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Уравнение принимает вид: $x - 2 = ax + 1$.
$x - ax = 3$
$x(1 - a) = 3$
Если $a = 1$, уравнение не имеет решений ($0 = 3$).
Если $a \ne 1$, то $x = \frac{3}{1 - a}$.
Найденный корень должен удовлетворять условию $x \ge 2$:
$\frac{3}{1 - a} \ge 2$
$\frac{3}{1 - a} - 2 \ge 0$
$\frac{3 - 2(1 - a)}{1 - a} \ge 0$
$\frac{3 - 2 + 2a}{1 - a} \ge 0$
$\frac{2a + 1}{1 - a} \ge 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in [-1/2, 1)$.
Таким образом, в этом случае одно решение существует при $a \in [-1/2, 1)$.

Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
Уравнение принимает вид: $-(x - 2) = ax + 1$.
$-x + 2 = ax + 1$
$1 = ax + x$
$x(a + 1) = 1$
Если $a = -1$, уравнение не имеет решений ($0 = 1$).
Если $a \ne -1$, то $x = \frac{1}{a + 1}$.
Найденный корень должен удовлетворять условию $x < 2$:
$\frac{1}{a + 1} < 2$
$\frac{1}{a + 1} - 2 < 0$
$\frac{1 - 2(a + 1)}{a + 1} < 0$
$\frac{1 - 2a - 2}{a + 1} < 0$
$\frac{-2a - 1}{a + 1} < 0$
$\frac{2a + 1}{a + 1} > 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.
Таким образом, в этом случае одно решение существует при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.

Система будет иметь два решения, если в каждом из двух случаев будет по одному решению, и эти решения не совпадают. Решения могут совпасть только на границе, т.е. при $x=2$. При $x=2$ из первого уравнения получаем $a=-1/2$. Из второго уравнения при $x=2$ также получаем $a=-1/2$. Значит, при $a=-1/2$ оба случая дают один и тот же корень $x=2$, т.е. всего одно решение.

Для получения двух различных решений необходимо, чтобы параметр $a$ принадлежал пересечению найденных множеств, за исключением точки $a=-1/2$:
$a \in ([-1/2, 1)) \cap ((-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty))$
$a \in (-1/2, 1)$

Ответ: $a \in (-1/2, 1)$.

б)

Задача сводится к нахождению числа корней уравнения $|x + 4| = ax + 2$ в зависимости от параметра $a$.

Это эквивалентно поиску числа точек пересечения графиков функций $y = |x + 4|$ и $y = ax + 2$.
График $y = |x + 4|$ — "галочка" с вершиной в точке $(-4, 0)$.
График $y = ax + 2$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0, 2)$.
Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $ax + 2 \ge 0$. Это условие должно выполняться для найденных корней.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.
Уравнение: $x + 4 = ax + 2$
$x(1 - a) = -2$
Если $a = 1$, решений нет.
Если $a \ne 1$, то $x = \frac{-2}{1 - a} = \frac{2}{a - 1}$.
Проверим условия $x \ge -4$ и $ax + 2 \ge 0$.
Условие $x \ge -4$: $\frac{2}{a - 1} \ge -4 \implies \frac{2 + 4(a-1)}{a-1} \ge 0 \implies \frac{4a-2}{a-1} \ge 0$.
Условие $ax+2 \ge 0$: $a(\frac{2}{a - 1}) + 2 \ge 0 \implies \frac{2a + 2(a-1)}{a-1} \ge 0 \implies \frac{4a-2}{a-1} \ge 0$.
Оба условия сводятся к одному неравенству $\frac{4a-2}{a-1} \ge 0$, которое выполняется при $a \in (-\infty, 1/2] \cup (1, \infty)$.

Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.
Уравнение: $-(x + 4) = ax + 2$
$-x - 4 = ax + 2$
$-6 = x(a + 1)$
Если $a = -1$, решений нет.
Если $a \ne -1$, то $x = \frac{-6}{a + 1}$.
Проверим условия $x < -4$ и $ax + 2 \ge 0$.
Условие $x < -4$: $\frac{-6}{a + 1} < -4 \implies \frac{-6 + 4(a+1)}{a+1} < 0 \implies \frac{4a-2}{a+1} < 0$.
Условие $ax+2 \ge 0$: $a(\frac{-6}{a + 1}) + 2 \ge 0 \implies \frac{-6a + 2(a+1)}{a+1} \ge 0 \implies \frac{-4a+2}{a+1} \ge 0 \implies \frac{4a-2}{a+1} \le 0$.
Для существования решения нужно, чтобы выполнялись оба неравенства: $\frac{4a-2}{a+1} < 0$ и $\frac{4a-2}{a+1} \le 0$. Это равносильно одному строгому неравенству $\frac{4a-2}{a+1} < 0$.
Это неравенство выполняется при $a \in (-1, 1/2)$.

Уравнение будет иметь два решения, если в каждом из двух случаев будет по одному решению. Это произойдет, если параметр $a$ будет принадлежать пересечению найденных множеств:
$a \in ((-\infty, 1/2] \cup (1, \infty)) \cap (-1, 1/2)$
Пересечением является интервал $(-1, 1/2]$.
Проверим граничную точку $a = 1/2$.
В первом случае $x = \frac{2}{1/2 - 1} = -4$.
Во втором случае, при $a=1/2$, неравенство $\frac{4a-2}{a+1} < 0$ не выполняется ($0 < 0$ - ложь), т.е. решений нет.
Следовательно, при $a=1/2$ существует только одно решение. Таким образом, два различных решения существуют при $a \in (-1, 1/2)$.

Ответ: $a \in (-1, 1/2)$.

34.37. При каких значениях $a$ уравнение $|x^2 - 4x - 5| = a$:

a) имеет два корня;

б) имеет четыре корня?

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Количество корней уравнения $|x^2 - 4x - 5| = a$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |x^2 - 4x - 5|$ и $y = a$.

График функции $y = a$ — это горизонтальная прямая, положение которой зависит от значения параметра $a$.

Построим график функции $y = |x^2 - 4x - 5|$. Для этого сначала построим график параболы $f(x) = x^2 - 4x - 5$.

1. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

2. Найдем координаты вершины параболы:

Координата $x$ вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Координата $y$ вершины: $y_в = f(2) = 2^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.

3. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -5$. Отсюда находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

График функции $y = |x^2 - 4x - 5|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 4x - 5$ следующим образом: часть параболы, которая находится выше или на оси $Ox$ (то есть при $x \in (-\infty, -1] \cup [5, \infty)$), остается без изменений. Часть параболы, которая находится ниже оси $Ox$ (при $x \in (-1, 5)$), отражается симметрично относительно оси $Ox$.

При этом отражении точка вершины $(2, -9)$ переходит в точку $(2, 9)$, которая становится точкой локального максимума для графика функции $y = |x^2 - 4x - 5|$.

Теперь проанализируем, сколько точек пересечения имеет график $y = |x^2 - 4x - 5|$ с горизонтальной прямой $y = a$ при различных значениях $a$.

• При $a < 0$: прямая $y=a$ проходит ниже оси абсцисс. Так как значение модуля не может быть отрицательным ($|x^2 - 4x - 5| \ge 0$), точек пересечения нет. Уравнение не имеет корней.
• При $a = 0$: прямая $y=a$ совпадает с осью $Ox$. График пересекает эту ось в двух точках: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$. Уравнение имеет два корня.
• При $0 < a < 9$: прямая $y=a$ проходит между осью $Ox$ и локальным максимумом в точке $(2, 9)$. Прямая пересекает график в четырех точках.
• При $a = 9$: прямая $y=a$ касается графика в его локальном максимуме $(2, 9)$ и пересекает две ветви параболы, идущие вверх. Всего получается три точки пересечения, следовательно, уравнение имеет три корня.
• При $a > 9$: прямая $y=a$ проходит выше локального максимума и пересекает только две восходящие ветви графика. Уравнение имеет два корня.

На основе этого анализа мы можем дать ответы на поставленные вопросы.

Из проведенного анализа следует, что уравнение имеет два корня, когда прямая $y=a$ совпадает с осью Ox или проходит выше локального максимума графика.

Это соответствует случаям: $a=0$ и $a > 9$.

Ответ: $a \in \{0\} \cup (9, +\infty)$.

Уравнение имеет четыре корня, когда прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках. Это происходит, когда прямая находится между осью Ox и линией локального максимума.

Это соответствует случаю $0 < a < 9$.

Ответ: $a \in (0, 9)$.

34.38. При каких значениях $a$:

a) в уравнении $(x - a)^2 - 12|x - a| + 35 = 0$ число отрицательных корней равно числу положительных корней;

б) в уравнении $(x + a)^2 - 6|x + a| + 8 = 0$ число положительных корней больше числа отрицательных корней?

а)

Рассмотрим уравнение $(x - a)^2 - 12|x - a| + 35 = 0$.

Поскольку $(x - a)^2 = |x - a|^2$, мы можем сделать замену переменной. Пусть $y = |x - a|$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 12y + 35 = 0$

Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета или через дискриминант. Корни равны $y_1 = 5$ и $y_2 = 7$. Оба корня положительны, что удовлетворяет условию $y \ge 0$.

Теперь вернемся к переменной $x$:

1) $|x - a| = 5 \implies x - a = \pm 5 \implies x = a \pm 5$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = a - 5$ и $x_2 = a + 5$.

2) $|x - a| = 7 \implies x - a = \pm 7 \implies x = a \pm 7$. Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = a - 7$ и $x_4 = a + 7$.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре различных корня: $a - 7$, $a - 5$, $a + 5$, $a + 7$.

По условию задачи, число отрицательных корней должно быть равно числу положительных корней. Так как всего 4 корня, то должно быть 2 отрицательных и 2 положительных корня. Это также означает, что ни один из корней не должен быть равен нулю.

Расположим корни в порядке возрастания: $a - 7 < a - 5 < a + 5 < a + 7$.

Чтобы ровно два корня были отрицательными и два — положительными, необходимо, чтобы второй по величине корень был отрицательным, а третий — положительным:

$\begin{cases} a - 5 < 0 \\ a + 5 > 0 \end{cases}$

Решая эту систему неравенств, получаем:

$\begin{cases} a < 5 \\ a > -5 \end{cases} \implies -5 < a < 5$.

При $a$, принадлежащем этому интервалу, корни $a - 7$ и $a - 5$ отрицательны, а корни $a + 5$ и $a + 7$ положительны. Если $a = \pm 5$ или $a = \pm 7$, один из корней обращается в ноль, и условие равенства числа положительных и отрицательных корней не выполняется.

Ответ: $a \in (-5; 5)$.

б)

Рассмотрим уравнение $(x + a)^2 - 6|x + a| + 8 = 0$.

Сделаем замену $z = |x + a|$, где $z \ge 0$. Учитывая, что $(x+a)^2 = |x+a|^2$, получаем квадратное уравнение:

$z^2 - 6z + 8 = 0$

Корни этого уравнения: $z_1 = 2$ и $z_2 = 4$. Оба корня положительны.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $|x + a| = 2 \implies x + a = \pm 2 \implies x = -a \pm 2$. Корни: $x = -a - 2$ и $x = -a + 2$.

2) $|x + a| = 4 \implies x + a = \pm 4 \implies x = -a \pm 4$. Корни: $x = -a - 4$ и $x = -a + 4$.

Итак, мы имеем четыре различных корня. Расположим их в порядке возрастания:

$x_{(1)} = -a - 4$, $x_{(2)} = -a - 2$, $x_{(3)} = -a + 2$, $x_{(4)} = -a + 4$.

По условию, число положительных корней ($N_+$) должно быть больше числа отрицательных корней ($N_-$). Проанализируем знаки корней в зависимости от параметра $a$. Знаки корней меняются в точках, где они обращаются в ноль:

$x_{(1)} = 0 \implies a = -4$

$x_{(2)} = 0 \implies a = -2$

$x_{(3)} = 0 \implies a = 2$

$x_{(4)} = 0 \implies a = 4$

Рассмотрим интервалы, на которые эти точки разбивают числовую ось:

• При $a < -4$: все четыре корня положительны. $N_+ = 4$, $N_- = 0$. Условие $4 > 0$ выполняется.
• При $a = -4$: корни $0, 2, 6, 8$. $N_+ = 3$, $N_- = 0$. Условие $3 > 0$ выполняется.
• При $-4 < a < -2$: один корень ($-a-4$) отрицательный, три — положительные. $N_+ = 3$, $N_- = 1$. Условие $3 > 1$ выполняется.
• При $a = -2$: корни $-2, 0, 4, 6$. $N_+ = 2$, $N_- = 1$. Условие $2 > 1$ выполняется.
• При $-2 < a < 2$: два корня ($-a-4, -a-2$) отрицательные, два — положительные. $N_+ = 2$, $N_- = 2$. Условие $2 > 2$ не выполняется.
• При $a \ge 2$: число отрицательных корней становится не меньше числа положительных. $N_+ \le N_-$.

Объединяя все значения $a$, при которых условие $N_+ > N_-$ выполняется, получаем:

$a \in (-\infty; -4) \cup \{-4\} \cup (-4; -2) \cup \{-2\}$, что соответствует промежутку $(-\infty; -2]$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2]$.