Номер 34.32, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.32, страница 219.

34.32. При каких значениях $a$ уравнение имеет ровно три корня:

a) $x(x + 3)^2 + a = 0;$

б) $x^3 - 12x + 1 = a?$

а) Рассмотрим уравнение $x(x + 3)^2 + a = 0$. Это уравнение с параметром $a$. Чтобы найти количество корней, применим графический метод. Перепишем уравнение в виде $x(x + 3)^2 = -a$. Количество корней исходного уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x(x + 3)^2$ и горизонтальной прямой $y = -a$. Для анализа функции $f(x)$ и построения ее эскиза, найдем ее экстремумы с помощью производной. Раскроем скобки в выражении для функции: $f(x) = x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 + 6x^2 + 9x)' = 3x^2 + 12x + 9$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $f'(x) = 0$. $3x^2 + 12x + 9 = 0$ Разделим обе части на 3: $x^2 + 4x + 3 = 0$. Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -1$. Это критические точки. Определим знак производной на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$ и $(-1, \infty)$, чтобы выяснить характер экстремумов. - При $x \in (-\infty, -3)$, $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. - При $x \in (-3, -1)$, $f'(x) < 0$, значит, функция убывает. - При $x \in (-1, \infty)$, $f'(x) > 0$, значит, функция возрастает. Таким образом, в точке $x = -3$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x = -1$ — локальный минимум. Вычислим значения функции в этих точках экстремума: $y_{max} = f(-3) = -3(-3 + 3)^2 = -3 \cdot 0 = 0$. $y_{min} = f(-1) = -1(-1 + 3)^2 = -1 \cdot (2)^2 = -4$. Уравнение будет иметь ровно три различных корня, если прямая $y = -a$ будет расположена строго между локальным максимумом и локальным минимумом. Это соответствует неравенству: $y_{min} < -a < y_{max}$. $-4 < -a < 0$. Умножим все части неравенства на -1, при этом знаки неравенства изменятся на противоположные: $4 > a > 0$. Это можно записать как $0 < a < 4$. Ответ: $a \in (0; 4)$.

б) Рассмотрим уравнение $x^3 - 12x + 1 = a$. Это уравнение уже представлено в виде, удобном для графического анализа. Количество его корней равно количеству точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 - 12x + 1$ и горизонтальной прямой $y = a$. Исследуем функцию $f(x)$ на экстремумы с помощью производной. Найдем производную: $f'(x) = (x^3 - 12x + 1)' = 3x^2 - 12$. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$: $3x^2 - 12 = 0$ $3x^2 = 12$ $x^2 = 4$ Критическими точками являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Определим знак производной на интервалах $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$ и $(2, \infty)$. - При $x \in (-\infty, -2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (-2, 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (2, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. Следовательно, в точке $x = -2$ функция достигает локального максимума, а в точке $x = 2$ — локального минимума. Найдем значения функции в этих точках: Локальный максимум: $y_{max} = f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 1 = -8 + 24 + 1 = 17$. Локальный минимум: $y_{min} = f(2) = 2^3 - 12(2) + 1 = 8 - 24 + 1 = -15$. Уравнение будет иметь ровно три различных корня, если значение параметра $a$ (которое задает положение горизонтальной прямой $y=a$) будет находиться строго между значениями локального максимума и минимума. То есть, должно выполняться неравенство: $y_{min} < a < y_{max}$. $-15 < a < 17$. Ответ: $a \in (-15; 17)$.