Номер 34.36, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.36, страница 219.

34.36. При каких значениях $a$ существуют два решения:

а) системы $\begin{cases} y = |x - 2| \\ y = ax + 1; \end{cases}$

б) уравнения $|x + 4| = ax + 2?$

a)

Задача сводится к нахождению числа точек пересечения графиков функций $y = |x - 2|$ и $y = ax + 1$ в зависимости от параметра $a$.

График функции $y = |x - 2|$ — это "галочка", состоящая из двух лучей, с вершиной в точке $(2, 0)$.
При $x \ge 2$, $y = x - 2$ (луч с угловым коэффициентом 1).
При $x < 2$, $y = -(x - 2) = -x + 2$ (луч с угловым коэффициентом -1).

График функции $y = ax + 1$ — это семейство прямых (пучок), проходящих через точку $(0, 1)$ с угловым коэффициентом $a$.

Количество решений системы равно количеству корней уравнения $|x - 2| = ax + 1$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$.
Уравнение принимает вид: $x - 2 = ax + 1$.
$x - ax = 3$
$x(1 - a) = 3$
Если $a = 1$, уравнение не имеет решений ($0 = 3$).
Если $a \ne 1$, то $x = \frac{3}{1 - a}$.
Найденный корень должен удовлетворять условию $x \ge 2$:
$\frac{3}{1 - a} \ge 2$
$\frac{3}{1 - a} - 2 \ge 0$
$\frac{3 - 2(1 - a)}{1 - a} \ge 0$
$\frac{3 - 2 + 2a}{1 - a} \ge 0$
$\frac{2a + 1}{1 - a} \ge 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in [-1/2, 1)$.
Таким образом, в этом случае одно решение существует при $a \in [-1/2, 1)$.

Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.
Уравнение принимает вид: $-(x - 2) = ax + 1$.
$-x + 2 = ax + 1$
$1 = ax + x$
$x(a + 1) = 1$
Если $a = -1$, уравнение не имеет решений ($0 = 1$).
Если $a \ne -1$, то $x = \frac{1}{a + 1}$.
Найденный корень должен удовлетворять условию $x < 2$:
$\frac{1}{a + 1} < 2$
$\frac{1}{a + 1} - 2 < 0$
$\frac{1 - 2(a + 1)}{a + 1} < 0$
$\frac{1 - 2a - 2}{a + 1} < 0$
$\frac{-2a - 1}{a + 1} < 0$
$\frac{2a + 1}{a + 1} > 0$
Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.
Таким образом, в этом случае одно решение существует при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty)$.

Система будет иметь два решения, если в каждом из двух случаев будет по одному решению, и эти решения не совпадают. Решения могут совпасть только на границе, т.е. при $x=2$. При $x=2$ из первого уравнения получаем $a=-1/2$. Из второго уравнения при $x=2$ также получаем $a=-1/2$. Значит, при $a=-1/2$ оба случая дают один и тот же корень $x=2$, т.е. всего одно решение.

Для получения двух различных решений необходимо, чтобы параметр $a$ принадлежал пересечению найденных множеств, за исключением точки $a=-1/2$:
$a \in ([-1/2, 1)) \cap ((-\infty, -1) \cup (-1/2, \infty))$
$a \in (-1/2, 1)$

Ответ: $a \in (-1/2, 1)$.

б)

Задача сводится к нахождению числа корней уравнения $|x + 4| = ax + 2$ в зависимости от параметра $a$.

Это эквивалентно поиску числа точек пересечения графиков функций $y = |x + 4|$ и $y = ax + 2$.
График $y = |x + 4|$ — "галочка" с вершиной в точке $(-4, 0)$.
График $y = ax + 2$ — пучок прямых, проходящих через точку $(0, 2)$.
Поскольку левая часть уравнения неотрицательна, то и правая должна быть неотрицательна: $ax + 2 \ge 0$. Это условие должно выполняться для найденных корней.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 4 \ge 0$, то есть $x \ge -4$.
Уравнение: $x + 4 = ax + 2$
$x(1 - a) = -2$
Если $a = 1$, решений нет.
Если $a \ne 1$, то $x = \frac{-2}{1 - a} = \frac{2}{a - 1}$.
Проверим условия $x \ge -4$ и $ax + 2 \ge 0$.
Условие $x \ge -4$: $\frac{2}{a - 1} \ge -4 \implies \frac{2 + 4(a-1)}{a-1} \ge 0 \implies \frac{4a-2}{a-1} \ge 0$.
Условие $ax+2 \ge 0$: $a(\frac{2}{a - 1}) + 2 \ge 0 \implies \frac{2a + 2(a-1)}{a-1} \ge 0 \implies \frac{4a-2}{a-1} \ge 0$.
Оба условия сводятся к одному неравенству $\frac{4a-2}{a-1} \ge 0$, которое выполняется при $a \in (-\infty, 1/2] \cup (1, \infty)$.

Случай 2: $x + 4 < 0$, то есть $x < -4$.
Уравнение: $-(x + 4) = ax + 2$
$-x - 4 = ax + 2$
$-6 = x(a + 1)$
Если $a = -1$, решений нет.
Если $a \ne -1$, то $x = \frac{-6}{a + 1}$.
Проверим условия $x < -4$ и $ax + 2 \ge 0$.
Условие $x < -4$: $\frac{-6}{a + 1} < -4 \implies \frac{-6 + 4(a+1)}{a+1} < 0 \implies \frac{4a-2}{a+1} < 0$.
Условие $ax+2 \ge 0$: $a(\frac{-6}{a + 1}) + 2 \ge 0 \implies \frac{-6a + 2(a+1)}{a+1} \ge 0 \implies \frac{-4a+2}{a+1} \ge 0 \implies \frac{4a-2}{a+1} \le 0$.
Для существования решения нужно, чтобы выполнялись оба неравенства: $\frac{4a-2}{a+1} < 0$ и $\frac{4a-2}{a+1} \le 0$. Это равносильно одному строгому неравенству $\frac{4a-2}{a+1} < 0$.
Это неравенство выполняется при $a \in (-1, 1/2)$.

Уравнение будет иметь два решения, если в каждом из двух случаев будет по одному решению. Это произойдет, если параметр $a$ будет принадлежать пересечению найденных множеств:
$a \in ((-\infty, 1/2] \cup (1, \infty)) \cap (-1, 1/2)$
Пересечением является интервал $(-1, 1/2]$.
Проверим граничную точку $a = 1/2$.
В первом случае $x = \frac{2}{1/2 - 1} = -4$.
Во втором случае, при $a=1/2$, неравенство $\frac{4a-2}{a+1} < 0$ не выполняется ($0 < 0$ - ложь), т.е. решений нет.
Следовательно, при $a=1/2$ существует только одно решение. Таким образом, два различных решения существуют при $a \in (-1, 1/2)$.

Ответ: $a \in (-1, 1/2)$.