Номер 34.41, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.41, страница 220.

34.41. При каких значениях параметра a система уравнений

$\begin{cases}|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12|x| = 0, \\x^2 - 2(a - 2)x + a(a - 4) = 0\end{cases}$

имеет два решения?

Для того чтобы система имела два решения, необходимо найти все значения параметра $a$, при которых ровно два значения $x$ удовлетворяют обоим уравнениям системы.

1. Решим первое уравнение системы:

Рассмотрим первое уравнение, которое не зависит от параметра $a$:$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12|x| = 0$Решим это уравнение, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$.При $x \ge 0$ имеем $|x| = x$. Уравнение принимает вид:$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12x = 0$$|x^2 - 7x + 6| + (x^2 - 7x + 6) = 0$Пусть $y = x^2 - 7x + 6$. Тогда уравнение становится $|y| + y = 0$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда $y \le 0$.Следовательно, нам нужно решить неравенство:$x^2 - 7x + 6 \le 0$Корнями квадратного трехчлена $x^2 - 7x + 6$ являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [1, 6]$. Все значения из этого промежутка удовлетворяют условию $x \ge 0$.

Случай 2: $x < 0$.При $x < 0$ имеем $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 5x + 6 - 12(-x) = 0$$|x^2 - 7x + 6| + x^2 + 17x + 6 = 0$Для $x < 0$ выражение под модулем $x^2 - 7x + 6$ всегда положительно (вершина параболы в точке $x=3.5$, и при $x=0$ значение равно 6). Поэтому $|x^2 - 7x + 6| = x^2 - 7x + 6$.Подставим это в уравнение:$(x^2 - 7x + 6) + (x^2 + 17x + 6) = 0$$2x^2 + 10x + 12 = 0$$x^2 + 5x + 6 = 0$Корнями этого уравнения являются $x_3 = -2$ и $x_4 = -3$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$.

Объединив решения из обоих случаев, получаем множество решений первого уравнения: $S_1 = \{-3, -2\} \cup [1, 6]$.

2. Решим второе уравнение системы:

Рассмотрим второе уравнение:$x^2 - 2(a - 2)x + a(a - 4) = 0$Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его дискриминант:$D = (-2(a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(a - 4) = 4(a^2 - 4a + 4) - 4(a^2 - 4a) = 4a^2 - 16a + 16 - 4a^2 + 16a = 16$.Так как $D = 16 > 0$, уравнение всегда имеет два различных корня.Найдем корни:$x = \frac{2(a - 2) \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2(a - 2) \pm 4}{2} = (a - 2) \pm 2$Корни второго уравнения: $x_1 = a - 2 - 2 = a - 4$ и $x_2 = a - 2 + 2 = a$.Множество решений второго уравнения: $S_2 = \{a - 4, a\}$.

3. Найдем значения параметра $a$.

Система имеет ровно два решения, если оба корня второго уравнения, $a - 4$ и $a$, принадлежат множеству решений первого уравнения $S_1$. То есть, должно выполняться условие $\{a - 4, a\} \subset S_1$.Это эквивалентно системе условий:$$\begin{cases}a \in \{-3, -2\} \cup [1, 6] \\a - 4 \in \{-3, -2\} \cup [1, 6]\end{cases}$$Рассмотрим возможные случаи для $a$.

Случай A: $a \in [1, 6]$.Тогда для $a - 4$ должны выполняться следующие условия:1) $a - 4 \in \{-3, -2\}$ - Если $a - 4 = -3$, то $a = 1$. Это значение принадлежит отрезку $[1, 6]$. Следовательно, $a=1$ является решением. При $a=1$ корни второго уравнения $x=1$ и $x=-3$ принадлежат $S_1$. - Если $a - 4 = -2$, то $a = 2$. Это значение принадлежит отрезку $[1, 6]$. Следовательно, $a=2$ является решением. При $a=2$ корни второго уравнения $x=2$ и $x=-2$ принадлежат $S_1$.2) $a - 4 \in [1, 6]$ - Это неравенство $1 \le a - 4 \le 6$ эквивалентно $5 \le a \le 10$. - Поскольку мы рассматриваем случай $a \in [1, 6]$, то пересечением является промежуток $a \in [5, 6]$. Для любого $a$ из этого промежутка оба корня $a$ и $a-4$ принадлежат отрезку $[1, 6]$, а значит и множеству $S_1$.

Случай B: $a \in \{-3, -2\}$.1) Если $a = -3$, то $a - 4 = -7$. $-3 \in S_1$, но $-7 \notin S_1$. Этот случай дает только одно решение системы ($x=-3$).2) Если $a = -2$, то $a - 4 = -6$. $-2 \in S_1$, но $-6 \notin S_1$. Этот случай также дает только одно решение системы ($x=-2$).

Объединяя все найденные значения $a$, получаем, что система имеет два решения при $a=1$, $a=2$ и $a \in [5, 6]$.

Ответ: $a \in \{1, 2\} \cup [5, 6]$.