Номер 34.48, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.48, страница 220.

34.48. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнения $x^2 + 2x + 7 - 2a = 0$ и $\frac{2x+1}{a-2} = \frac{3}{\sqrt[4]{x-3} + \ln(x-2)}$ одновременно не имеют корней.

Для решения задачи необходимо найти значения параметра $a$, при которых каждое из двух данных уравнений не имеет корней, а затем найти пересечение этих множеств значений.

1. Анализ первого уравнения: $x^2 + 2x + 7 - 2a = 0$

Это квадратное уравнение относительно переменной $x$. Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен.

Вычислим дискриминант. Удобнее использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = (b/2)^2 - ac$, где коэффициенты $A=1$, $b=2$, $c=7-2a$.
$D/4 = 1^2 - 1 \cdot (7 - 2a) = 1 - 7 + 2a = 2a - 6$.

Условие отсутствия корней: $D/4 < 0$.
$2a - 6 < 0$
$2a < 6$
$a < 3$

Следовательно, первое уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; 3)$.

2. Анализ второго уравнения: $\frac{2x + 1}{a - 2} = \frac{3}{\sqrt[4]{x - 3} + \ln(x - 2)}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ в этом уравнении.

• Подкоренное выражение в знаменателе должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$.
• Аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
• Знаменатель дроби в правой части не должен быть равен нулю: $\sqrt[4]{x - 3} + \ln(x - 2) \ne 0$.
  При $x \ge 3$ имеем $\sqrt[4]{x-3} \ge 0$ и $x-2 \ge 1$, откуда $\ln(x-2) \ge \ln(1) = 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если оба они равны нулю одновременно. $\sqrt[4]{x-3}=0$ при $x=3$, и $\ln(x-2)=0$ (то есть $x-2=1$) также при $x=3$. Таким образом, знаменатель обращается в ноль только при $x=3$.

Объединяя все условия, получаем, что ОДЗ для $x$ во втором уравнении: $x > 3$.

Теперь проанализируем знаки обеих частей уравнения для $x \in (3; +\infty)$.
Правая часть: числитель $3$ положителен. Знаменатель $\sqrt[4]{x - 3} + \ln(x - 2)$ при $x>3$ является суммой двух положительных слагаемых ($\sqrt[4]{x-3}>0$ и $\ln(x-2)>\ln(1)=0$), следовательно, он строго положителен. Значит, вся правая часть уравнения всегда положительна при любом допустимом $x$.

Левая часть: $\frac{2x + 1}{a - 2}$. При $x > 3$ числитель $2x + 1$ всегда положителен. Для того чтобы равенство могло выполняться, левая часть уравнения также должна быть положительной. Это возможно только в том случае, если ее знаменатель тоже положителен, то есть $a - 2 > 0$, что эквивалентно $a > 2$.

Таким образом, если $a \le 2$, то левая часть уравнения будет либо отрицательной (при $a < 2$), либо не определена (при $a=2$), в то время как правая часть всегда положительна. В этом случае равенство невозможно, и уравнение не имеет решений.

Следовательно, второе уравнение не имеет корней при $a \in (-\infty; 2]$.

3. Объединение результатов

Мы ищем значения параметра $a$, при которых оба уравнения одновременно не имеют корней. Для этого найдем пересечение полученных множеств значений $a$.
- Первое уравнение не имеет корней при: $a < 3$, то есть $a \in (-\infty; 3)$.
- Второе уравнение не имеет корней при: $a \le 2$, то есть $a \in (-\infty; 2]$.

Пересечением этих двух множеств является $(-\infty; 3) \cap (-\infty; 2] = (-\infty; 2]$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.