Номер 34.47, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.47, страница 220.

34.47. Известно, что уравнение $(2a + 3)x^2 + ax + 3x + 1 = 0$ имеет хотя бы один корень. При каких значениях параметра $a$ число корней этого уравнения равно числу корней уравнения $\frac{21 - a}{1 + 2x} = 3 + \sqrt{x - 3}$?

Для решения задачи проанализируем каждое уравнение по отдельности, определим количество их корней в зависимости от параметра $a$, а затем найдем значения $a$, при которых это количество совпадает.

1. Анализ первого уравнения

Рассмотрим первое уравнение $(2a + 3)x^2 + ax + 3x + 1 = 0$. Перепишем его, сгруппировав коэффициенты при $x$: $(2a + 3)x^2 + (a + 3)x + 1 = 0$.

Это уравнение может быть линейным или квадратным в зависимости от коэффициента при $x^2$.

Случай 1: Уравнение линейное.
Это происходит, когда $2a + 3 = 0$, то есть $a = -1.5$.
Подставим это значение в уравнение: $0 \cdot x^2 + (-1.5 + 3)x + 1 = 0$, что дает $1.5x + 1 = 0$.
Отсюда $x = -1 / 1.5 = -2/3$.
При $a = -1.5$ уравнение имеет один корень.

Случай 2: Уравнение квадратное.
Это происходит, когда $2a + 3 \neq 0$, то есть $a \neq -1.5$.
Число корней зависит от знака дискриминанта $D$:
$D = (a + 3)^2 - 4 \cdot (2a + 3) \cdot 1 = a^2 + 6a + 9 - 8a - 12 = a^2 - 2a - 3$.
Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 2a - 3 = 0$. По теореме Виета, $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$.
• Уравнение имеет два корня, если $D > 0$, то есть $a^2 - 2a - 3 > 0$. Это выполняется при $a \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty)$. С учетом $a \neq -1.5$, получаем, что два корня существуют при $a \in (-\infty, -1.5) \cup (-1.5, -1) \cup (3, \infty)$.
• Уравнение имеет один корень, если $D = 0$, то есть при $a = 3$ или $a = -1$.
• Уравнение не имеет корней, если $D < 0$, то есть при $a \in (-1, 3)$.

По условию задачи, первое уравнение имеет хотя бы один корень. Это означает, что мы должны исключить интервал $a \in (-1, 3)$. Таким образом, допустимые значения параметра $a$ для первого уравнения принадлежат множеству $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Соберем информацию о числе корней первого уравнения ($N_1$):
• $N_1 = 1$ при $a \in \{-1.5, -1, 3\}$.
• $N_1 = 2$ при $a \in (-\infty, -1.5) \cup (-1.5, -1) \cup (3, \infty)$.

2. Анализ второго уравнения

Рассмотрим второе уравнение $\frac{21 - a}{1 + 2x} = 3 + \sqrt{x - 3}$.

Найдем его область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $1 + 2x \neq 0 \implies x \neq -0.5$. Это условие автоматически выполняется, так как $x \ge 3$.
Итак, ОДЗ: $x \ge 3$.

Проанализируем поведение функций в левой и правой частях уравнения на ОДЗ.
Правая часть $g(x) = 3 + \sqrt{x - 3}$ является строго возрастающей функцией на $[3, \infty)$. Ее наименьшее значение достигается при $x=3$ и равно $g(3) = 3$.
Левая часть $f(x) = \frac{21 - a}{1 + 2x}$. На ОДЗ знаменатель $1+2x$ всегда положителен.
• Если $21 - a \le 0$ (то есть $a \ge 21$), то $f(x) \le 0$. Поскольку $g(x) \ge 3$, равенство $f(x) = g(x)$ невозможно. В этом случае уравнение не имеет корней.
• Если $21 - a > 0$ (то есть $a < 21$), то $f(x)$ является положительной и строго убывающей функцией на $[3, \infty)$, так как ее производная $f'(x) = \frac{-2(21-a)}{(1+2x)^2} < 0$.

Так как на ОДЗ одна функция ($g(x)$) строго возрастает, а другая ($f(x)$) строго убывает, уравнение может иметь не более одного корня. Корень существует тогда и только тогда, когда значение убывающей функции в начальной точке ОДЗ ($x=3$) больше или равно значению возрастающей функции в этой же точке, то есть $f(3) \ge g(3)$.
$\frac{21 - a}{1 + 2 \cdot 3} \ge 3 + \sqrt{3-3}$
$\frac{21 - a}{7} \ge 3$
$21 - a \ge 21$
$-a \ge 0 \implies a \le 0$.

Соберем информацию о числе корней второго уравнения ($N_2$):
• $N_2 = 1$ при $a \le 0$.
• $N_2 = 0$ при $a > 0$.

3. Нахождение значений параметра 𝑎

Нам нужно найти такие значения $a$, при которых число корней первого уравнения равно числу корней второго ($N_1 = N_2$), с учетом, что $a \in (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

Случай 1: $N_1 = N_2 = 1$.
$N_1 = 1$ при $a \in \{-1.5, -1, 3\}$.
$N_2 = 1$ при $a \le 0$.
Пересечение этих условий дает значения $a = -1.5$ и $a = -1$. Оба этих значения принадлежат множеству допустимых значений $a$. Значит, они являются решениями.

Случай 2: $N_1 = N_2 = 2$.
Число корней второго уравнения никогда не может быть равно 2. Решений в этом случае нет.

Случай 3: $N_1 = N_2 = 0$.
Этот случай противоречит условию задачи, так как первое уравнение должно иметь хотя бы один корень.

Следовательно, единственными значениями параметра, удовлетворяющими всем условиям, являются $a = -1.5$ и $a = -1$.

Ответ: $a = -1.5; a = -1$.