Номер 34.40, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.40, страница 220.

34.40. При каких значениях параметра $a$ графики функций $y = a|x + 1|$ и $y = x + a^2|x|$ пересекаются в трёх точках?

Чтобы найти значения параметра $a$, при которых графики функций пересекаются в трёх точках, необходимо решить уравнение $a|x+1| = x + a^2|x|$ и найти, при каких $a$ оно имеет ровно три решения.

Для решения уравнения раскроем модули. Это разбивает числовую ось на три промежутка: $(-\infty, -1)$, $[-1, 0)$ и $[0, \infty)$.

1. При $x \ge 0$

На этом промежутке $|x| = x$ и $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид:

$a(x+1) = x + a^2x$

$ax + a = x(1 + a^2)$

$a = x(a^2 - a + 1)$

Квадратный трёхчлен $a^2 - a + 1$ имеет отрицательный дискриминант ($D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$) и положительный старший коэффициент, поэтому он всегда положителен. Следовательно, можно выразить $x$:

$x_1 = \frac{a}{a^2 - a + 1}$

Решение $x_1$ должно принадлежать рассматриваемому промежутку, то есть $x_1 \ge 0$. Так как знаменатель всегда положителен, это неравенство эквивалентно $a \ge 0$.Если $a=0$, исходное уравнение превращается в $0 = x$, которое имеет единственное решение. Нам требуется три решения, поэтому случай $a=0$ не подходит.Таким образом, при $a > 0$ на промежутке $[0, \infty)$ существует ровно одно решение.

2. При $-1 \le x < 0$

На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x+1| = x+1$. Уравнение принимает вид:

$a(x+1) = x - a^2x$

$ax + a = x(1 - a^2)$

$a = x(1 - a^2 - a)$

Если $1 - a - a^2 \ne 0$ (то есть $a \ne \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$), то:

$x_2 = \frac{a}{1 - a - a^2}$

Это решение должно удовлетворять условию $-1 \le x_2 < 0$. Решая систему неравенств $\begin{cases} \frac{a}{1-a-a^2} < 0 \\ \frac{a}{1-a-a^2} \ge -1 \end{cases}$ методом интервалов, находим, что решение существует при $a \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$.

3. При $x < -1$

На этом промежутке $|x| = -x$ и $|x+1| = -(x+1)$. Уравнение принимает вид:

$-a(x+1) = x - a^2x$

$-ax - a = x(1 - a^2)$

$-a = x(1 - a^2 + a)$

Если $1 + a - a^2 \ne 0$ (то есть $a \ne \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$), то:

$x_3 = \frac{-a}{1 + a - a^2}$

Это решение должно удовлетворять условию $x_3 < -1$. Решая неравенство $\frac{-a}{1+a-a^2} < -1$, которое после преобразований сводится к $\frac{1-a^2}{1+a-a^2} < 0$, методом интервалов находим, что решение существует при $a \in (-1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \cup (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$.

Сводка результатов и окончательное решение

Чтобы уравнение имело ровно три решения, необходимо, чтобы существовало по одному решению на каждом из трёх непересекающихся промежутков. Для этого найдём значения $a$, удовлетворяющие всем трём условиям одновременно:

1. $a > 0$ (для корня $x_1 \ge 0$)
2. $a \in [-1, 0) \cup [1, \infty)$ (для корня $x_2 \in [-1, 0)$)
3. $a \in (-1, \frac{1-\sqrt{5}}{2}) \cup (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$ (для корня $x_3 < -1$)

Найдём пересечение этих трёх множеств.Из условия (1) следует, что $a > 0$.Тогда из условия (2) остаётся $a \in [1, \infty)$.Из условия (3) остаётся $a \in (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$.Пересекая полученные множества $a \in [1, \infty)$ и $a \in (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$, получаем окончательный результат.

Ответ: $a \in (1, \frac{1+\sqrt{5}}{2})$.