Номер 34.39, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.39, страница 220.

34.39. a) Сколько корней имеет уравнение $\vert\vert x \vert - 2 \vert = a$ при различных значениях параметра $a$?

b) Решите уравнение $\vert x - 1 \vert + \vert x - 3 \vert = a$.

а)

Чтобы определить количество корней уравнения $||x| - 2| = a$ в зависимости от параметра $a$, проанализируем это уравнение. Левая часть уравнения, будучи модулем, всегда неотрицательна. Следовательно, если правая часть $a$ отрицательна, уравнение не имеет решений.

При $a \ge 0$ уравнение $||x| - 2| = a$ равносильно совокупности двух уравнений:

$|x| - 2 = a$ или $|x| - 2 = -a$.

Из этих уравнений получаем два новых, более простых уравнения относительно $|x|$:

1) $|x| = a + 2$

2) $|x| = 2 - a$

Теперь рассмотрим количество решений для различных значений $a$.

Случай 1: $a < 0$
Как было отмечено, левая часть уравнения $||x| - 2|$ неотрицательна, а правая часть $a$ отрицательна. В этом случае уравнение корней не имеет.

Случай 2: $a = 0$
Уравнение (1) принимает вид $|x| = 0 + 2 = 2$, откуда получаем два корня: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Уравнение (2) принимает вид $|x| = 2 - 0 = 2$, что дает те же самые корни.
Таким образом, при $a = 0$ исходное уравнение имеет 2 корня.

Случай 3: $0 < a < 2$
В уравнении (1) $|x| = a + 2$. Так как $a > 0$, то $a + 2 > 2$. Правая часть положительна, поэтому уравнение имеет два различных корня: $x = \pm(a+2)$.
В уравнении (2) $|x| = 2 - a$. Так как $0 < a < 2$, то $0 < 2 - a < 2$. Правая часть положительна, поэтому это уравнение также имеет два различных корня: $x = \pm(2-a)$.
Все четыре корня, $a+2$, $-(a+2)$, $2-a$, $-(2-a)$, различны, так как $a+2 \ne 2-a$ (поскольку $a \ne 0$) и $a+2 \ne -(2-a)$ (поскольку $a+2 \ne a-2$ невозможно).
Следовательно, при $0 < a < 2$ уравнение имеет 4 корня.

Случай 4: $a = 2$
Уравнение (1) принимает вид $|x| = 2 + 2 = 4$, откуда $x = \pm 4$ (два корня).
Уравнение (2) принимает вид $|x| = 2 - 2 = 0$, откуда $x = 0$ (один корень).
Всего при $a=2$ уравнение имеет 3 корня.

Случай 5: $a > 2$
В уравнении (1) $|x| = a + 2$. Так как $a > 2$, то $a + 2 > 4$. Уравнение имеет два различных корня: $x = \pm(a+2)$.
В уравнении (2) $|x| = 2 - a$. Так как $a > 2$, то $2 - a < 0$. Уравнение $|x| = 2-a$ корней не имеет, так как модуль числа не может быть отрицательным.
Следовательно, при $a > 2$ уравнение имеет 2 корня.

Ответ:
при $a < 0$ корней нет;
при $a = 0$ — 2 корня;
при $0 < a < 2$ — 4 корня;
при $a = 2$ — 3 корня;
при $a > 2$ — 2 корня.

б)

Для решения уравнения $|x - 1| + |x - 3| = a$ используем метод интервалов. Выражения под знаком модуля, $x-1$ и $x-3$, обращаются в ноль при $x=1$ и $x=3$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка: $(-\infty, 1)$, $[1, 3]$ и $(3, +\infty)$.

Случай 1: $x < 1$
На этом промежутке оба выражения под модулем отрицательны: $x-1 < 0$ и $x-3 < 0$. Раскрываем модули со знаком минус: $|x-1| = -(x-1) = 1-x$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Уравнение принимает вид: $(1-x) + (3-x) = a$, что упрощается до $4 - 2x = a$.
Отсюда $2x = 4-a$, и $x = \frac{4-a}{2} = 2 - \frac{a}{2}$.
Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 1$, если выполнено неравенство $2 - \frac{a}{2} < 1$, откуда $1 < \frac{a}{2}$, то есть $a > 2$.

Случай 2: $1 \le x \le 3$
На этом отрезке $x-1 \ge 0$ и $x-3 \le 0$. Раскрываем модули: $|x-1| = x-1$ и $|x-3| = -(x-3) = 3-x$.
Уравнение принимает вид: $(x-1) + (3-x) = a$, что упрощается до $2 = a$.
Это означает, что если параметр $a=2$, то уравнение становится тождеством $2=2$ для любого $x$ из отрезка $[1, 3]$. Таким образом, решением является весь отрезок $x \in [1, 3]$.
Если же $a \ne 2$, то уравнение $2=a$ неверно, и на этом промежутке корней нет.

Случай 3: $x > 3$
На этом промежутке оба выражения под модулем положительны: $x-1 > 0$ и $x-3 > 0$. Раскрываем модули со знаком плюс: $|x-1| = x-1$ и $|x-3| = x-3$.
Уравнение принимает вид: $(x-1) + (x-3) = a$, что упрощается до $2x - 4 = a$.
Отсюда $2x = a+4$, и $x = \frac{a+4}{2} = 2 + \frac{a}{2}$.
Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку $x > 3$, если выполнено неравенство $2 + \frac{a}{2} > 3$, откуда $\frac{a}{2} > 1$, то есть $a > 2$.

Подведем итоги.
Левая часть уравнения $|x-1| + |x-3|$ представляет собой сумму расстояний от точки $x$ до точек 1 и 3 на числовой оси. Минимальное значение этой суммы равно расстоянию между точками 1 и 3, то есть $3-1=2$. Это значение достигается при $x \in [1, 3]$. Следовательно, при $a < 2$ уравнение не может иметь решений.

Ответ:
при $a < 2$ корней нет;
при $a = 2$ решением является любой $x \in [1, 3]$;
при $a > 2$ уравнение имеет два корня: $x_1 = 2 - \frac{a}{2}$ и $x_2 = 2 + \frac{a}{2}$.