Номер 34.44, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.44, страница 220.

34.44. При каких значениях параметра $a$ уравнение $4^x + 2 = a \cdot 2^x \cdot \sin \pi x$ имеет единственный корень?

Преобразуем исходное уравнение. Так как $2^x > 0$ для любого действительного $x$, разделим обе части уравнения на $2^x$: $$ \frac{4^x + 2}{2^x} = \frac{a \cdot 2^x \cdot \sin(\pi x)}{2^x} $$ $$ 2^x + \frac{2}{2^x} = a \cdot \sin(\pi x) $$ $$ 2^x + 2^{1-x} = a \cdot \sin(\pi x) $$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как функции от $x$: $f(x) = 2^x + 2^{1-x}$ и $g(x) = a \cdot \sin(\pi x)$. Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых графики этих функций имеют ровно одну общую точку.

Исследуем функции на симметрию относительно вертикальной прямой $x=1/2$. Для функции $f(x)$: $f(1/2 + t) = 2^{1/2+t} + 2^{1-(1/2+t)} = 2^{1/2+t} + 2^{1/2-t}$. $f(1/2 - t) = 2^{1/2-t} + 2^{1-(1/2-t)} = 2^{1/2-t} + 2^{1/2+t}$. Видно, что $f(1/2+t) = f(1/2-t)$, следовательно, функция $f(x)$ симметрична относительно прямой $x=1/2$.

Для функции $g(x)$: $g(1/2 + t) = a \sin(\pi(1/2+t)) = a \sin(\pi/2 + \pi t) = a \cos(\pi t)$. $g(1/2 - t) = a \sin(\pi(1/2-t)) = a \sin(\pi/2 - \pi t) = a \cos(\pi t)$. Видно, что $g(1/2+t) = g(1/2-t)$, следовательно, функция $g(x)$ также симметрична относительно прямой $x=1/2$.

Поскольку обе функции, $f(x)$ и $g(x)$, симметричны относительно одной и той же прямой $x=1/2$, то если $x_0$ является корнем уравнения $f(x)=g(x)$, то и $1-x_0$ также является корнем. Чтобы корень был единственным, необходимо, чтобы он совпадал со своим симметричным образом: $x_0 = 1 - x_0$, откуда $2x_0=1$ и $x_0=1/2$.

Таким образом, единственным возможным корнем может быть только $x=1/2$. Подставим это значение в уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$: $$ 2^{1/2} + 2^{1-1/2} = a \cdot \sin\left(\pi \cdot \frac{1}{2}\right) $$ $$ \sqrt{2} + \sqrt{2} = a \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) $$ $$ 2\sqrt{2} = a \cdot 1 $$ $$ a = 2\sqrt{2} $$

Теперь необходимо проверить, что при $a=2\sqrt{2}$ уравнение действительно имеет ровно один корень. Уравнение принимает вид: $$ 2^x + 2^{1-x} = 2\sqrt{2} \sin(\pi x) $$ Оценим левую и правую части. Для левой части (ЛЧ), используя неравенство о средних арифметическом и геометрическом для положительных чисел: ЛЧ = $2^x + 2^{1-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{1-x}} = 2\sqrt{2^1} = 2\sqrt{2}$. Равенство в этом неравенстве достигается только тогда, когда $2^x = 2^{1-x}$, то есть при $x=1/2$. Следовательно, ЛЧ $\ge 2\sqrt{2}$, причем ЛЧ $= 2\sqrt{2}$ только при $x=1/2$.

Для правой части (ПЧ): ПЧ = $2\sqrt{2} \sin(\pi x)$. Поскольку область значений функции синус $[-1, 1]$, то ПЧ $\le 2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$. Равенство ПЧ $= 2\sqrt{2}$ достигается только тогда, когда $\sin(\pi x) = 1$, что верно при $\pi x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}$, то есть $x = \frac{1}{2} + 2k$.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $2\sqrt{2}$. Это требует выполнения двух условий: 1) ЛЧ $= 2\sqrt{2} \implies x = 1/2$. 2) ПЧ $= 2\sqrt{2} \implies x = 1/2 + 2k$, $k \in \mathbb{Z}$. Единственное значение $x$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=1/2$ (при $k=0$). Таким образом, при $a=2\sqrt{2}$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a = 2\sqrt{2}$.