Номер 34.45, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.45, страница 220.

34.45. Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых неравенство $|2x + a|x| - 13| \ge 1$ выполняется для всех $x$ из отрезка $[-3; 3]$.

Исходное неравенство $|2x + a|x| - 13| \ge 1$ должно выполняться для всех $x$ из отрезка $[-3; 3]$.

Неравенство с модулем $|A| \ge B$ (при $B \ge 0$) равносильно совокупности двух неравенств:

$A \ge B$ или $A \le -B$.

Применительно к нашей задаче это означает, что для всех $x \in [-3; 3]$ должно выполняться одно из двух условий:

$2x + a|x| - 13 \ge 1 \quad \implies \quad 2x + a|x| \ge 14$

или

$2x + a|x| - 13 \le -1 \quad \implies \quad 2x + a|x| \le 12$

Введем функцию $f(x) = 2x + a|x|$. Условие задачи можно переформулировать так: для любого $x \in [-3; 3]$ значение функции $f(x)$ не должно попадать в интервал $(12; 14)$.

Рассмотрим функцию $f(x)$ на отрезке $[-3; 3]$. Так как $f(x)$ является непрерывной функцией на замкнутом промежутке, ее множество значений также является отрезком, концы которого – это наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке. Обозначим их как $f_{min}$ и $f_{max}$.

Множество значений функции $f(x)$ на отрезке $[-3; 3]$ есть отрезок $[f_{min}; f_{max}]$. Условие, что это множество значений не пересекается с интервалом $(12; 14)$, означает, что должно выполняться одно из двух условий:

1. $f_{max} \le 12$ (тогда все значения функции будут не больше 12).

2. $f_{min} \ge 14$ (тогда все значения функции будут не меньше 14).

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции $f(x) = 2x + a|x|$ на отрезке $[-3; 3]$. Экстремумы непрерывной функции на отрезке достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка. Раскроем модуль:

$f(x) = \begin{cases} 2x + ax = (2+a)x, & \text{если } x \ge 0 \\ 2x - ax = (2-a)x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Производная функции при $x \ne 0$:

$f'(x) = \begin{cases} 2+a, & \text{если } x > 0 \\ 2-a, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

По условию $a > 0$, поэтому $2+a > 0$, и на промежутке $(0; 3]$ функция возрастает. При $x=0$ производная не существует (это точка "излома"), поэтому $x=0$ является возможной точкой экстремума.

Таким образом, для нахождения $f_{min}$ и $f_{max}$ достаточно вычислить значения функции на концах отрезка $x=-3$, $x=3$ и в точке излома $x=0$.

$f(-3) = 2(-3) + a|-3| = -6 + 3a = 3a - 6$

$f(0) = 2(0) + a|0| = 0$

$f(3) = 2(3) + a|3| = 6 + 3a$

Теперь найдем $f_{min}$ и $f_{max}$ из этих трех значений. Поскольку $a > 0$, то $6+3a$ — наибольшее из трех значений. Следовательно, $f_{max} = 6+3a$.

Наименьшее значение — это меньшее из $f(-3)=3a-6$ и $f(0)=0$.

$f_{min} = \min(0, 3a-6)$.

Теперь вернемся к двум условиям, которые мы вывели ранее:

1. $f_{max} \le 12$

$6 + 3a \le 12$

$3a \le 6$

$a \le 2$

Учитывая, что по условию $a>0$, получаем $a \in (0; 2]$. При этих значениях $a$ наибольшее значение функции не превосходит 12, а значит, и все остальные значения функции не превосходят 12. Таким образом, неравенство $f(x) \le 12$ выполняется для всех $x \in [-3; 3]$, и исходное неравенство тоже выполняется.

2. $f_{min} \ge 14$

$\min(0, 3a-6) \ge 14$

Это неравенство не имеет решений, так как $\min(0, 3a-6)$ всегда меньше или равно нулю, а $14$ — положительное число. $0 \ge 14$ — ложно.

Таким образом, единственным условием, которое может выполняться, является $a \le 2$. Объединяя это с условием $a>0$, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (0; 2]$.