Номер 34.49, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.49, страница 220.

34.49. Найдите значения параметра $a$, при каждом из которых в множестве значений функции $y = \frac{x^2 - 2x - a}{x^2 + 6}$ содержится только одно целое число.

Чтобы найти множество значений функции $y = \frac{x^2 - 2x - a}{x^2 + 6}$, рассмотрим это выражение как уравнение относительно $x$ при заданном $y$.

$y(x^2 + 6) = x^2 - 2x - a$
$yx^2 + 6y = x^2 - 2x - a$
Перегруппируем члены, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:
$(y-1)x^2 + 2x + (6y + a) = 0$

Это уравнение должно иметь хотя бы одно действительное решение для $x$, чтобы значение $y$ принадлежало множеству значений функции.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.
Если $y-1=0$, то есть $y=1$, уравнение становится линейным:
$2x + (6(1) + a) = 0$
$2x + 6 + a = 0$
Это уравнение всегда имеет единственное решение $x = -\frac{a+6}{2}$. Следовательно, $y=1$ всегда принадлежит множеству значений функции при любом значении параметра $a$.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.
Если $y \neq 1$, уравнение $(y-1)x^2 + 2x + (6y + a) = 0$ является квадратным. Оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).
$D = 2^2 - 4(y-1)(6y+a) = 4 - 4(6y^2 + ay - 6y - a) \ge 0$
$1 - (6y^2 + (a-6)y - a) \ge 0$
$1 - 6y^2 - (a-6)y + a \ge 0$
$-6y^2 - (a-6)y + (a+1) \ge 0$
Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства:
$6y^2 + (a-6)y - (a+1) \le 0$

Множество значений $y$ представляет собой решение этого квадратного неравенства. Графиком функции $f(y) = 6y^2 + (a-6)y - (a+1)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $f(y) \le 0$ выполняется на отрезке между корнями $y_1$ и $y_2$ уравнения $f(y)=0$. Таким образом, множество значений функции $y(x)$ — это отрезок $[y_{min}, y_{max}]$.

По условию, в этом множестве значений должно содержаться только одно целое число. Так как мы выяснили, что $y=1$ всегда принадлежит множеству значений, то этим единственным целым числом должно быть 1.

Это означает, что отрезок $[y_{min}, y_{max}]$ должен содержать число 1, но не должен содержать другие целые числа, в частности 0 и 2. Это условие будет выполнено, если множество значений будет находиться строго между 0 и 2, то есть $0 < y_{min}$ и $y_{max} < 2$.

Условия $0 < y_{min}$ и $y_{max} < 2$ означают, что оба корня квадратного уравнения $6y^2 + (a-6)y - (a+1) = 0$ должны лежать в интервале $(0, 2)$.

Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена $f(y) = 6y^2 + (a-6)y - (a+1)$ (с положительным старшим коэффициентом) лежали в интервале $(0, 2)$, должна выполняться система условий:
1. Дискриминант должен быть положительным. $D_y = (a-6)^2 - 4(6)(-(a+1)) = a^2 - 12a + 36 + 24a + 24 = a^2 + 12a + 60$. Дискриминант этого квадратного трехчлена относительно $a$ равен $12^2 - 4 \cdot 60 = 144 - 240 < 0$, значит, $a^2 + 12a + 60 > 0$ при всех $a$. Условие выполнено.
2. Вершина параболы $y_v$ должна лежать в интервале $(0, 2)$:
$y_v = -\frac{a-6}{2 \cdot 6} = \frac{6-a}{12}$
$0 < \frac{6-a}{12} < 2 \implies 0 < 6-a < 24 \implies -6 < -a < 18 \implies -18 < a < 6$.
3. Значения функции $f(y)$ на концах интервала $(0, 2)$ должны быть положительными:
$f(0) > 0 \implies 6(0)^2 + (a-6)(0) - (a+1) > 0 \implies -(a+1) > 0 \implies a < -1$.
$f(2) > 0 \implies 6(2)^2 + (a-6)(2) - (a+1) > 0 \implies 24 + 2a - 12 - a - 1 > 0 \implies a + 11 > 0 \implies a > -11$.

Теперь найдем пересечение всех полученных условий на параметр $a$:
$\begin{cases} -18 < a < 6 \\ a < -1 \\ a > -11 \end{cases}$
Решением этой системы является интервал $-11 < a < -1$.

Ответ: $a \in (-11, -1)$.