Номер 34.43, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.43, страница 220.

34.43. При каких положительных значениях параметра $a$ неравенство $2x^2 - a \ln x < 0$ имеет хотя бы одно решение?

Задано неравенство $2x^2 - a \ln x < 0$. По условию, параметр $a$ является положительным, то есть $a > 0$. Область допустимых значений для переменной $x$ определяется наличием натурального логарифма, что требует $x > 0$.

Вопрос состоит в том, чтобы найти все такие значения $a > 0$, при которых неравенство имеет хотя бы одно решение. Это эквивалентно условию, что наименьшее значение функции $f(x) = 2x^2 - a \ln x$ на ее области определения $(0, +\infty)$ должно быть отрицательным. Если $\min_{x>0} f(x) < 0$, то найдется такое значение $x$, для которого $f(x) < 0$, и неравенство будет иметь решение.

Для нахождения наименьшего значения функции исследуем ее с помощью производной.
Найдем первую производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (2x^2 - a \ln x)' = 4x - \frac{a}{x}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow 4x - \frac{a}{x} = 0$.
Поскольку $x > 0$, мы можем умножить обе части уравнения на $x$:
$4x^2 - a = 0 \Rightarrow 4x^2 = a$.
Так как $a > 0$, получаем $x^2 = \frac{a}{4}$. Учитывая, что $x > 0$, находим единственную критическую точку:
$x_0 = \sqrt{\frac{a}{4}} = \frac{\sqrt{a}}{2}$.

Чтобы определить характер этой критической точки, воспользуемся второй производной:
$f''(x) = (4x - \frac{a}{x})' = 4 + \frac{a}{x^2}$.
Поскольку по условию $a > 0$ и из области определения $x > 0$, то $f''(x) = 4 + \frac{a}{x^2} > 0$ для всех $x \in (0, +\infty)$. Положительное значение второй производной на всей области определения означает, что функция $f(x)$ является выпуклой вниз (вогнутой), и, следовательно, найденная критическая точка $x_0 = \frac{\sqrt{a}}{2}$ является точкой глобального минимума.

Теперь вычислим наименьшее (минимальное) значение функции $f(x)$:
$f_{min} = f(x_0) = f\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2 - a \ln\left(\frac{\sqrt{a}}{2}\right)$
$f_{min} = 2\cdot\frac{a}{4} - a\left(\ln(\sqrt{a}) - \ln 2\right)$
$f_{min} = \frac{a}{2} - a\left(\frac{1}{2}\ln a - \ln 2\right)$
$f_{min} = \frac{a}{2} - \frac{a}{2}\ln a + a \ln 2$
Вынесем общий множитель $\frac{a}{2}$:
$f_{min} = \frac{a}{2}(1 - \ln a + 2\ln 2) = \frac{a}{2}(1 + \ln 4 - \ln a) = \frac{a}{2}\left(1 + \ln\frac{4}{a}\right)$.

Как мы установили ранее, для существования хотя бы одного решения исходного неравенства необходимо и достаточно, чтобы его минимальное значение было меньше нуля:
$f_{min} < 0 \Rightarrow \frac{a}{2}\left(1 + \ln\frac{4}{a}\right) < 0$.

Поскольку $a > 0$, множитель $\frac{a}{2}$ также положителен. Значит, мы можем разделить обе части неравенства на $\frac{a}{2}$, не меняя его знака:
$1 + \ln\frac{4}{a} < 0$
$\ln\frac{4}{a} < -1$.
Применяя к обеим частям потенцирование по основанию $e$ (так как $y=e^x$ — возрастающая функция), получаем:
$e^{\ln\frac{4}{a}} < e^{-1}$
$\frac{4}{a} < \frac{1}{e}$.
Так как $a > 0$ и $e > 0$, мы можем умножить обе части на $ae$, чтобы избавиться от знаменателей:
$4e < a$.

Следовательно, неравенство имеет хотя бы одно решение при всех положительных значениях параметра $a$, удовлетворяющих условию $a > 4e$.

Ответ: $a \in (4e, +\infty)$.