Номер 34.37, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.37, страница 219.

34.37. При каких значениях $a$ уравнение $|x^2 - 4x - 5| = a$:

a) имеет два корня;

б) имеет четыре корня?

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Количество корней уравнения $|x^2 - 4x - 5| = a$ равно количеству точек пересечения графиков функций $y = |x^2 - 4x - 5|$ и $y = a$.

График функции $y = a$ — это горизонтальная прямая, положение которой зависит от значения параметра $a$.

Построим график функции $y = |x^2 - 4x - 5|$. Для этого сначала построим график параболы $f(x) = x^2 - 4x - 5$.

1. Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

2. Найдем координаты вершины параболы:

Координата $x$ вершины: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.

Координата $y$ вершины: $y_в = f(2) = 2^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.

Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -9)$.

3. Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -5$. Отсюда находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Парабола пересекает ось $Ox$ в точках $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.

График функции $y = |x^2 - 4x - 5|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 4x - 5$ следующим образом: часть параболы, которая находится выше или на оси $Ox$ (то есть при $x \in (-\infty, -1] \cup [5, \infty)$), остается без изменений. Часть параболы, которая находится ниже оси $Ox$ (при $x \in (-1, 5)$), отражается симметрично относительно оси $Ox$.

При этом отражении точка вершины $(2, -9)$ переходит в точку $(2, 9)$, которая становится точкой локального максимума для графика функции $y = |x^2 - 4x - 5|$.

Теперь проанализируем, сколько точек пересечения имеет график $y = |x^2 - 4x - 5|$ с горизонтальной прямой $y = a$ при различных значениях $a$.

• При $a < 0$: прямая $y=a$ проходит ниже оси абсцисс. Так как значение модуля не может быть отрицательным ($|x^2 - 4x - 5| \ge 0$), точек пересечения нет. Уравнение не имеет корней.
• При $a = 0$: прямая $y=a$ совпадает с осью $Ox$. График пересекает эту ось в двух точках: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$. Уравнение имеет два корня.
• При $0 < a < 9$: прямая $y=a$ проходит между осью $Ox$ и локальным максимумом в точке $(2, 9)$. Прямая пересекает график в четырех точках.
• При $a = 9$: прямая $y=a$ касается графика в его локальном максимуме $(2, 9)$ и пересекает две ветви параболы, идущие вверх. Всего получается три точки пересечения, следовательно, уравнение имеет три корня.
• При $a > 9$: прямая $y=a$ проходит выше локального максимума и пересекает только две восходящие ветви графика. Уравнение имеет два корня.

На основе этого анализа мы можем дать ответы на поставленные вопросы.

а) имеет два корня;

Из проведенного анализа следует, что уравнение имеет два корня, когда прямая $y=a$ совпадает с осью Ox или проходит выше локального максимума графика.

Это соответствует случаям: $a=0$ и $a > 9$.

Ответ: $a \in \{0\} \cup (9, +\infty)$.

б) имеет четыре корня?

Уравнение имеет четыре корня, когда прямая $y=a$ пересекает график в четырех точках. Это происходит, когда прямая находится между осью Ox и линией локального максимума.

Это соответствует случаю $0 < a < 9$.

Ответ: $a \in (0, 9)$.