Номер 34.30, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.30, страница 219.

34.30. При каких значениях $a$ уравнение имеет хотя бы один корень:

a) $9^x + (a + 4) \cdot 3^x + 4a = 0;$

б) $25^x - (a - 2) \cdot 5^x - 2a = 0?$

а) $9^x + (a + 4) \cdot 3^x + 4a = 0$

Данное уравнение является показательным. Сделаем замену переменной, чтобы свести его к квадратному. Пусть $t = 3^x$. Поскольку показательная функция $y=3^x$ принимает только положительные значения, для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$.

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2 = t^2$. Подставив $t$ в исходное уравнение, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + (a + 4)t + 4a = 0$

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень $t > 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно применить теорему Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = -(a+4)$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 4a$. Легко подобрать корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = -a$. Проверим: $t_1+t_2 = -4-a = -(a+4)$ и $t_1 \cdot t_2 = (-4)(-a) = 4a$. Корни найдены верно.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = (a+4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4a = a^2 + 8a + 16 - 16a = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$

$t = \frac{-(a+4) \pm \sqrt{(a-4)^2}}{2} = \frac{-a-4 \pm |a-4|}{2}$

Вне зависимости от знака выражения $a-4$, после раскрытия модуля мы получим корни $t_1 = -4$ и $t_2 = -a$.

Итак, корни квадратного уравнения: $t_1 = -4$ и $t_2 = -a$.

Чтобы исходное уравнение имело хотя бы один корень, нам нужен хотя бы один положительный корень для $t$.

Корень $t_1 = -4$ является отрицательным, поэтому он не дает решений для $x$, так как уравнение $3^x = -4$ не имеет действительных корней.

Следовательно, второй корень $t_2 = -a$ должен быть положительным:

$t_2 > 0 \implies -a > 0 \implies a < 0$.

Если $a < 0$, то $t_2 = -a$ - это положительный корень. Тогда уравнение $3^x = -a$ имеет единственный действительный корень $x = \log_3(-a)$.

Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при $a < 0$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0)$.

б) $25^x - (a - 2) \cdot 5^x - 2a = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Учитывая, что $25^x = (5^2)^x = (5^x)^2 = t^2$, перепишем уравнение в виде квадратного относительно $t$:

$t^2 - (a - 2)t - 2a = 0$

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень $x$ в том и только в том случае, если квадратное уравнение для $t$ имеет хотя бы один положительный корень $t > 0$.

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней $t_1 + t_2 = a-2$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -2a$. Можно заметить, что корнями являются числа $a$ и $-2$, так как их сумма равна $a + (-2) = a-2$, а произведение $a \cdot (-2) = -2a$.

Или найдем корни через дискриминант:

$D = (-(a-2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2a) = (a-2)^2 + 8a = a^2 - 4a + 4 + 8a = a^2 + 4a + 4 = (a+2)^2$

$t = \frac{a-2 \pm \sqrt{(a+2)^2}}{2} = \frac{a-2 \pm |a+2|}{2}$

Раскрывая модуль, в любом случае получаем корни $t_1 = a$ и $t_2 = -2$.

Итак, корни квадратного уравнения: $t_1 = a$ и $t_2 = -2$.

Для существования решения исходного уравнения нам нужен хотя бы один положительный корень для $t$.

Корень $t_2 = -2$ всегда отрицательный, поэтому он не может дать решение для $x$, так как уравнение $5^x = -2$ не имеет действительных корней.

Значит, корень $t_1 = a$ должен быть положительным:

$t_1 > 0 \implies a > 0$.

Если $a > 0$, то $t_1 = a$ - положительный корень. Уравнение $5^x = a$ будет иметь единственный действительный корень $x = \log_5(a)$.

Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы один корень при $a > 0$.

Ответ: $a \in (0; +\infty)$.