Номер 34.27, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.27, страница 218.

34.27. a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = a;$

б) $3 \sin x + 4 \cos x = 2a - 1.$

а) Данное уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x = a$ является линейным тригонометрическим уравнением вида $A \sin x + B \cos x = C$. Для нахождения значений параметра $a$, при которых уравнение имеет решения, воспользуемся методом введения вспомогательного угла.

Преобразуем левую часть уравнения. Для этого вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{A^2 + B^2}$, где $A = \sqrt{3}$ и $B=1$.

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Выносим 2 за скобки в левой части уравнения:

$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right) = a$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$. Подставим эти значения в уравнение:

$2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x \right) = a$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, сворачиваем выражение в скобках:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = a$.

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение правой части ($a$) принадлежит области значений левой части. Область значений функции $y = \sin(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений функции $y = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ есть отрезок $[-2, 2]$.

Таким образом, для того чтобы уравнение имело решения, должно выполняться неравенство:

$-2 \le a \le 2$.

Ответ: $a \in [-2, 2]$.

б) Рассмотрим уравнение $3 \sin x + 4 \cos x = 2a - 1$. Это также линейное тригонометрическое уравнение. Применим метод введения вспомогательного угла, аналогичный предыдущему пункту.

Здесь коэффициенты $A=3$ и $B=4$. Найдем множитель $R$:

$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Выносим 5 за скобки в левой части уравнения:

$5 \left( \frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x \right) = 2a - 1$.

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = \frac{3}{5}$ и $\sin \varphi = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как выполняется основное тригонометрическое тождество: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Подставим $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ в уравнение:

$5 (\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x) = 2a - 1$.

Используя формулу синуса суммы, получаем:

$5 \sin(x + \varphi) = 2a - 1$.

Левая часть уравнения, $5 \sin(x + \varphi)$, принимает значения из отрезка $[-5, 5]$. Для того чтобы уравнение имело решения, его правая часть, $2a - 1$, должна принадлежать этому же отрезку.

Запишем соответствующее двойное неравенство:

$-5 \le 2a - 1 \le 5$.

Решим это неравенство относительно $a$. Прибавим 1 ко всем частям:

$-5 + 1 \le 2a \le 5 + 1$

$-4 \le 2a \le 6$.

Разделим все части на 2:

$-2 \le a \le 3$.

Ответ: $a \in [-2, 3]$.