Номер 34.20, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 34. Задачи с параметрами. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 34.20, страница 218.

34.20. a) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(x^3 - 8)(a - x) \ge 0$ имеет единственное решение?

б) При каких значениях параметра $a$ в множестве решений неравенства $(x - 1)(a - x) \ge 0$ содержится ровно пять целых чисел?

а)

Рассмотрим неравенство $(x^3 - 8)(a - x) \ge 0$.

Разложим первый множитель на множители по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 4$ имеет отрицательный дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$. Поскольку старший коэффициент (при $x^2$) положителен, выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $x^2 + 2x + 4 > 0$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(x - 2)(a - x) \ge 0$

Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак на противоположный, чтобы получить стандартный вид:

$(x - 2)(x - a) \le 0$

Это неравенство имеет единственное решение только в том случае, когда его решение не является отрезком. Это возможно, если корни $x=2$ и $x=a$ совпадают.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 2$, то решением неравенства $(x - 2)(x - a) \le 0$ является отрезок $[a, 2]$. Этот отрезок содержит бесконечно много решений.

2. Если $a > 2$, то решением неравенства является отрезок $[2, a]$. Этот отрезок также содержит бесконечно много решений.

3. Если $a = 2$, неравенство принимает вид $(x - 2)(x - 2) \le 0$, или $(x - 2)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$, неравенство $(x - 2)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x - 2)^2 = 0$.

Это уравнение имеет единственное решение $x = 2$.

Таким образом, исходное неравенство имеет единственное решение только при $a=2$.

Ответ: $a=2$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x - 1)(a - x) \ge 0$.

Преобразуем его к стандартному виду, умножив на $-1$ и изменив знак:

$(x - 1)(x - a) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок, концами которого служат корни $x=1$ и $x=a$.

Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a > 1$, то решением неравенства является отрезок $[1, a]$. Нам нужно, чтобы этот отрезок содержал ровно пять целых чисел. Поскольку $1$ — целое число и левая граница отрезка, то этими числами должны быть $1, 2, 3, 4, 5$.
Для этого число $5$ должно принадлежать отрезку $[1, a]$, а следующее целое число $6$ — не должно. Это задается системой неравенств:

$\begin{cases} a \ge 5 \\ a < 6 \end{cases}$

Таким образом, в этом случае $a \in [5, 6)$.

2. Если $a < 1$, то решением неравенства является отрезок $[a, 1]$. Нам нужно, чтобы этот отрезок содержал ровно пять целых чисел. Поскольку $1$ — целое число и правая граница отрезка, то этими числами должны быть $1, 0, -1, -2, -3$.
Для этого число $-3$ должно принадлежать отрезку $[a, 1]$, а следующее меньшее целое число $-4$ — не должно. Это задается системой неравенств:

$\begin{cases} a \le -3 \\ a > -4 \end{cases}$

Таким образом, в этом случае $a \in (-4, -3]$.

3. Если $a = 1$, неравенство принимает вид $(x - 1)(1 - x) \ge 0$, или $-(x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $x=1$. Множество решений $\{1\}$ содержит только одно целое число, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты из первого и второго случаев, получаем все значения параметра $a$, при которых множество решений содержит ровно пять целых чисел.

Ответ: $a \in (-4, -3] \cup [5, 6)$.