Страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

34.19. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 + 2ax + 2x + 2a + 2 \leq 0$:

a) выполняется при любых $x$;

б) не имеет решений?

Рассмотрим неравенство $ax^2 + 2ax + 2x + 2a + 2 \le 0$. Сгруппируем слагаемые при степенях $x$, чтобы привести его к стандартному виду квадратичного неравенства: $ax^2 + (2a + 2)x + (2a + 2) \le 0$.

Данное выражение является квадратичным неравенством относительно $x$, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($a \ne 0$), и линейным, если $a = 0$. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $a = 0$.
При $a=0$ неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 + (2 \cdot 0 + 2)x + (2 \cdot 0 + 2) \le 0$ $2x + 2 \le 0$ $2x \le -2$ $x \le -1$. В этом случае решение существует (это промежуток $x \in (-\infty; -1]$), но оно не охватывает все действительные числа $x$. Следовательно, значение $a=0$ не подходит ни для пункта а), ни для пункта б).

Случай 2: $a \neq 0$.
В этом случае левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $f(x) = ax^2 + 2(a + 1)x + 2(a + 1)$. Характер неравенства зависит от знака старшего коэффициента $a$ и дискриминанта $D$ квадратного трехчлена. Вычислим дискриминант: $D = (2(a+1))^2 - 4 \cdot a \cdot (2(a+1)) = 4(a+1)^2 - 8a(a+1) = 4(a+1)(a+1 - 2a) = 4(a+1)(1-a)$.

Чтобы неравенство $f(x) \le 0$ выполнялось для всех значений $x$, необходимо, чтобы график функции $f(x)$ (парабола) был направлен ветвями вниз и целиком лежал не выше оси абсцисс. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным ($a < 0$), а дискриминант — неположительным ($D \le 0$), так как парабола может иметь не более одной общей точки с осью Ox.

Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} a < 0 \\ 4(a+1)(1-a) \le 0 \end{cases} $$ Решим второе неравенство: $(a+1)(1-a) \le 0$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получим: $(a+1)(a-1) \ge 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $a < 0$: $$ \begin{cases} a < 0 \\ a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty) \end{cases} $$ Общим решением системы является промежуток $a \le -1$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1]$.

Неравенство $f(x) \le 0$ не имеет решений, если для всех значений $x$ выполняется строгое обратное неравенство: $f(x) > 0$. Чтобы парабола $y = f(x)$ была целиком расположена выше оси абсцисс, необходимо, чтобы ее ветви были направлены вверх ($a > 0$), и при этом она не имела точек пересечения с осью Ox, то есть дискриминант был строго отрицательным ($D < 0$).

Составим и решим систему неравенств: $$ \begin{cases} a > 0 \\ 4(a+1)(1-a) < 0 \end{cases} $$ Решим второе неравенство: $(a+1)(1-a) < 0$. Умножив на -1 и изменив знак, получим: $(a+1)(a-1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с условием $a > 0$: $$ \begin{cases} a > 0 \\ a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty) \end{cases} $$ Общим решением системы является промежуток $a > 1$.
Ответ: $a \in (1; +\infty)$.

34.20. a) При каких значениях параметра $a$ неравенство $(x^3 - 8)(a - x) \ge 0$ имеет единственное решение?

б) При каких значениях параметра $a$ в множестве решений неравенства $(x - 1)(a - x) \ge 0$ содержится ровно пять целых чисел?

а)

Рассмотрим неравенство $(x^3 - 8)(a - x) \ge 0$.

Разложим первый множитель на множители по формуле разности кубов: $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$.

Квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 4$ имеет отрицательный дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$. Поскольку старший коэффициент (при $x^2$) положителен, выражение $x^2 + 2x + 4$ всегда принимает положительные значения при любом $x$.

Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $x^2 + 2x + 4 > 0$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(x - 2)(a - x) \ge 0$

Умножим неравенство на $-1$ и изменим знак на противоположный, чтобы получить стандартный вид:

$(x - 2)(x - a) \le 0$

Это неравенство имеет единственное решение только в том случае, когда его решение не является отрезком. Это возможно, если корни $x=2$ и $x=a$ совпадают.

Рассмотрим три случая:

1. Если $a < 2$, то решением неравенства $(x - 2)(x - a) \le 0$ является отрезок $[a, 2]$. Этот отрезок содержит бесконечно много решений.

2. Если $a > 2$, то решением неравенства является отрезок $[2, a]$. Этот отрезок также содержит бесконечно много решений.

3. Если $a = 2$, неравенство принимает вид $(x - 2)(x - 2) \le 0$, или $(x - 2)^2 \le 0$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $(x - 2)^2 \ge 0$, неравенство $(x - 2)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае: когда $(x - 2)^2 = 0$.

Это уравнение имеет единственное решение $x = 2$.

Таким образом, исходное неравенство имеет единственное решение только при $a=2$.

Ответ: $a=2$.

б)

Рассмотрим неравенство $(x - 1)(a - x) \ge 0$.

Преобразуем его к стандартному виду, умножив на $-1$ и изменив знак:

$(x - 1)(x - a) \le 0$

Решением этого неравенства является отрезок, концами которого служат корни $x=1$ и $x=a$.

Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Если $a > 1$, то решением неравенства является отрезок $[1, a]$. Нам нужно, чтобы этот отрезок содержал ровно пять целых чисел. Поскольку $1$ — целое число и левая граница отрезка, то этими числами должны быть $1, 2, 3, 4, 5$.
Для этого число $5$ должно принадлежать отрезку $[1, a]$, а следующее целое число $6$ — не должно. Это задается системой неравенств:

$\begin{cases} a \ge 5 \\ a < 6 \end{cases}$

Таким образом, в этом случае $a \in [5, 6)$.

2. Если $a < 1$, то решением неравенства является отрезок $[a, 1]$. Нам нужно, чтобы этот отрезок содержал ровно пять целых чисел. Поскольку $1$ — целое число и правая граница отрезка, то этими числами должны быть $1, 0, -1, -2, -3$.
Для этого число $-3$ должно принадлежать отрезку $[a, 1]$, а следующее меньшее целое число $-4$ — не должно. Это задается системой неравенств:

$\begin{cases} a \le -3 \\ a > -4 \end{cases}$

Таким образом, в этом случае $a \in (-4, -3]$.

3. Если $a = 1$, неравенство принимает вид $(x - 1)(1 - x) \ge 0$, или $-(x-1)^2 \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $x=1$. Множество решений $\{1\}$ содержит только одно целое число, что не удовлетворяет условию задачи.

Объединяя результаты из первого и второго случаев, получаем все значения параметра $a$, при которых множество решений содержит ровно пять целых чисел.

Ответ: $a \in (-4, -3] \cup [5, 6)$.

34.21. Решите неравенство:

а) $ \sqrt{x-2(x-a)} \ge 0; $

б) $ (6-x)\sqrt{x-a} > 0. $

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{x - 2(x - a)} \ge 0$.

Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом ($\sqrt{y} \ge 0$). Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых подкоренное выражение определено, то есть неотрицательно. Это условие называется Областью допустимых значений (ОДЗ).

Найдем ОДЗ, решив соответствующее неравенство:

$x - 2(x - a) \ge 0$

Раскроем скобки в левой части:

$x - 2x + 2a \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-x + 2a \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства:

$2a \ge x$, что эквивалентно $x \le 2a$.

Таким образом, решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 2a]$.

б)

Исходное неравенство: $(6 - x)\sqrt{x - a} > 0$.

Произведение двух множителей больше нуля, если оба множителя имеют одинаковый знак (оба положительны или оба отрицательны).

Множитель $\sqrt{x-a}$ по определению арифметического корня не может быть отрицательным. Значит, для выполнения неравенства оба множителя должны быть строго положительными.

Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 6 - x > 0 \\ \sqrt{x - a} > 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство в системе.

1) Из первого неравенства получаем:

$6 - x > 0 \implies 6 > x \implies x < 6$.

2) Второе неравенство $\sqrt{x - a} > 0$ выполняется тогда и только тогда, когда подкоренное выражение строго положительно:

$x - a > 0 \implies x > a$.

Таким образом, решение исходного неравенства — это решение системы:

$\begin{cases} x < 6 \\ x > a \end{cases}$

Теперь необходимо проанализировать решение этой системы в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a < 6$.

В этом случае интервалы $(-\infty, 6)$ и $(a, \infty)$ пересекаются. Решением системы является интервал $a < x < 6$.

Случай 2: $a \ge 6$.

В этом случае система не имеет решений. Не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно меньше 6 и больше или равно 6. Следовательно, множество решений пустое.

Объединим результаты.

Ответ: если $a < 6$, то $x \in (a, 6)$; если $a \ge 6$, то решений нет ($\emptyset$).

34.22. a) При каких значениях параметра $a$ решением неравенства $(x - a)^2(x - 3)(x + 1) \leq 0$ является отрезок?

б) При каких значениях параметра $a$ неравенство $\frac{x - 2a - 1}{x - a} < 0$ выполняется при всех значениях $x$ из отрезка $[1; 2]$?

Рассмотрим неравенство $(x - a)^2(x - 3)(x + 1) \le 0$.

Множитель $(x - a)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(x - a)^2 \ge 0$ при любых значениях $x$.

Неравенство обращается в верное равенство $0 \le 0$, если $x - a = 0$, то есть $x = a$. Таким образом, $x=a$ всегда является решением неравенства, независимо от значения параметра $a$.

Если $x \ne a$, то $(x - a)^2 > 0$. В этом случае можно разделить обе части неравенства на $(x-a)^2$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(x - 3)(x + 1) \le 0$

Это квадратичное неравенство. Корнями выражения $(x - 3)(x + 1)$ являются $x = -1$ и $x = 3$. График функции $y=(x-3)(x+1)$ — парабола с ветвями вверх, поэтому выражение неположительно на промежутке между корнями.

Решением этого неравенства является отрезок $x \in [-1, 3]$.

Объединяя оба случая, получаем, что множество решений исходного неравенства есть объединение точки $x=a$ и отрезка $[-1, 3]$. То есть, множество решений $S = [-1, 3] \cup \{a\}$.

По условию задачи, решением неравенства должен быть отрезок. Множество $S$ является отрезком тогда и только тогда, когда точка $a$ принадлежит отрезку $[-1, 3]$.

Если $a \in [-1, 3]$, то $\{a\} \subseteq [-1, 3]$, и их объединение $S = [-1, 3]$, что является отрезком.

Если $a < -1$ или $a > 3$, то множество решений является объединением отрезка и изолированной точки, что не является одним отрезком.

Следовательно, искомые значения параметра $a$ удовлетворяют условию $-1 \le a \le 3$.

Ответ: $a \in [-1, 3]$.

Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $\frac{x - 2a - 1}{x - a} < 0$ выполняется для всех значений $x$ из отрезка $[1; 2]$.

Во-первых, знаменатель $x - a$ не должен обращаться в ноль ни при каком $x \in [1; 2]$. Это означает, что $a \notin [1; 2]$.

Данное дробно-рациональное неравенство равносильно неравенству $(x - 2a - 1)(x - a) < 0$ (при условии $x \ne a$).

Обозначим левую часть как функцию от $x$: $f(x) = (x - (2a + 1))(x - a)$. Эта функция является квадратичной относительно $x$, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 1.

Для того чтобы такая парабола принимала отрицательные значения на всем отрезке $[1; 2]$, необходимо и достаточно, чтобы ее значения на концах этого отрезка были отрицательными. То есть должны выполняться два условия одновременно:

$\begin{cases} f(1) < 0 \\ f(2) < 0 \end{cases}$

Найдем $f(1)$ и подставим в первое неравенство системы:

$f(1) = (1 - 2a - 1)(1 - a) = (-2a)(1 - a) = 2a(a - 1)$.

Решим неравенство $2a(a - 1) < 0$. Корнями являются $a=0$ и $a=1$. Решением является интервал $a \in (0; 1)$.

Найдем $f(2)$ и подставим во второе неравенство системы:

$f(2) = (2 - 2a - 1)(2 - a) = (1 - 2a)(2 - a) = (2a - 1)(a - 2)$.

Решим неравенство $(2a - 1)(a - 2) < 0$. Корнями являются $a=1/2$ и $a=2$. Решением является интервал $a \in (1/2; 2)$.

Для нахождения искомых значений $a$ необходимо найти пересечение полученных интервалов:

$a \in (0; 1) \cap (1/2; 2)$.

Пересечением является интервал $a \in (1/2; 1)$.

Вспомним исходное условие, что $a \notin [1; 2]$. Найденный интервал $(1/2; 1)$ не имеет общих точек с отрезком $[1; 2]$, следовательно, это условие выполнено.

Ответ: $a \in (1/2; 1)$.

•34.23. При каких значениях параметра $a$ корни уравнения $(a - 2)x^2 - 2ax + a + 3 = 0$ различны и:

а) положительны;

б) меньше числа 3;

в) отрицательны;

г) принадлежат интервалу $(1; 3)$?

Данное уравнение $(a-2)x^2 - 2ax + a + 3 = 0$ является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a-2 \neq 0$, откуда $a \neq 2$.

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля. Удобнее использовать четверть дискриминанта $D_1 = D/4$.

$D_1 = (-a)^2 - (a-2)(a+3) = a^2 - (a^2 + 3a - 2a - 6) = a^2 - a^2 - a + 6 = 6 - a$.

Условие $D_1 > 0$ дает нам неравенство $6 - a > 0$, откуда $a < 6$.

Таким образом, для всех пунктов задачи необходимым условием является наличие двух различных корней, что выполняется при $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.

Обозначим корни уравнения через $x_1$ и $x_2$. По теореме Виета:

• $x_1 + x_2 = \frac{2a}{a-2}$
• $x_1 \cdot x_2 = \frac{a+3}{a-2}$

Вершина параболы $f(x) = (a-2)x^2 - 2ax + a + 3$ находится в точке $x_v = -\frac{-2a}{2(a-2)} = \frac{a}{a-2}$.

а) корни положительны

Для того чтобы оба корня были положительными ($x_1 > 0, x_2 > 0$), должны выполняться следующие условия:

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Сумма корней положительна: $x_1 + x_2 > 0$.
3. Произведение корней положительно: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Решим неравенства для суммы и произведения корней:

$x_1 + x_2 = \frac{2a}{a-2} > 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a+3}{a-2} > 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty; -3) \cup (2; \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:

$\left((-\infty; 0) \cup (2; \infty)\right) \cap \left((-\infty; -3) \cup (2; \infty)\right) = (-\infty; -3) \cup (2; \infty)$.

Пересекая полученный результат с условием $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$, имеем:

$\left((-\infty; -3) \cup (2; \infty)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) = (-\infty; -3) \cup (2; 6)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -3) \cup (2; 6)$.

б) корни меньше числа 3

Для того чтобы оба корня были меньше 3 ($x_1 < 3, x_2 < 3$), необходимо и достаточно выполнение следующих условий (рассматривая график параболы $y=f(x)$):

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Вершина параболы находится левее точки $x=3$: $x_v < 3$.
3. Значение функции в точке $x=3$ имеет тот же знак, что и старший коэффициент $a-2$: $(a-2) \cdot f(3) > 0$.

Решим соответствующие неравенства:

$x_v = \frac{a}{a-2} < 3 \Rightarrow \frac{a}{a-2} - 3 < 0 \Rightarrow \frac{a - 3(a-2)}{a-2} < 0 \Rightarrow \frac{-2a+6}{a-2} < 0 \Rightarrow \frac{a-3}{a-2} > 0$.

Решением этого неравенства является $a \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Найдем $f(3)$: $f(3) = (a-2) \cdot 3^2 - 2a \cdot 3 + a + 3 = 9(a-2) - 6a + a + 3 = 9a - 18 - 5a + 3 = 4a - 15$.

Условие $(a-2) \cdot f(3) > 0$ принимает вид $(a-2)(4a-15) > 0$. Корни этого выражения $a=2$ и $a=15/4=3.75$. Решением неравенства является $a \in (-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)$.

Найдем пересечение всех условий:

$\left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (3; \infty)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)\right)$.

Пересечение второго и третьего множеств: $(-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)$.

Пересекая это с первым условием: $\left((-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)\right) \cap \left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) = (-\infty; 2) \cup (15/4; 6)$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2) \cup (\frac{15}{4}; 6)$.

в) корни отрицательны

Для того чтобы оба корня были отрицательными ($x_1 < 0, x_2 < 0$), должны выполняться следующие условия:

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Сумма корней отрицательна: $x_1 + x_2 < 0$.
3. Произведение корней положительно: $x_1 \cdot x_2 > 0$.

Решим неравенства для суммы и произведения корней:

$x_1 + x_2 = \frac{2a}{a-2} < 0$. Методом интервалов получаем $a \in (0; 2)$.

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a+3}{a-2} > 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty; -3) \cup (2; \infty)$.

Найдем пересечение условий для суммы и произведения: $(0; 2) \cap \left((-\infty; -3) \cup (2; \infty)\right) = \emptyset$.

Так как система условий не имеет решений, таких значений параметра $a$ не существует.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

г) корни принадлежат интервалу (1; 3)

Для того чтобы оба корня принадлежали интервалу (1; 3), то есть $1 < x_1 < 3$ и $1 < x_2 < 3$, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Уравнение имеет два различных корня: $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.
2. Вершина параболы находится в интервале (1; 3): $1 < x_v < 3$.
3. Значение функции в точке $x=1$ имеет тот же знак, что и старший коэффициент $a-2$: $(a-2) \cdot f(1) > 0$.
4. Значение функции в точке $x=3$ имеет тот же знак, что и старший коэффициент $a-2$: $(a-2) \cdot f(3) > 0$.

Решим соответствующие неравенства:

1. $a \in (-\infty; 2) \cup (2; 6)$.

2. $1 < \frac{a}{a-2} < 3$.

$\frac{a}{a-2} > 1 \Rightarrow \frac{a - (a-2)}{a-2} > 0 \Rightarrow \frac{2}{a-2} > 0 \Rightarrow a > 2$.

$\frac{a}{a-2} < 3 \Rightarrow \frac{a-3}{a-2} > 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 2) \cup (3; \infty)$.

Пересечение этих двух условий дает $a > 3$.

3. Найдем $f(1)$: $f(1) = (a-2) \cdot 1^2 - 2a \cdot 1 + a + 3 = a - 2 - 2a + a + 3 = 1$.

Условие $(a-2) \cdot f(1) > 0$ принимает вид $(a-2) \cdot 1 > 0$, откуда $a > 2$.

4. Из пункта б) мы знаем, что $f(3) = 4a - 15$. Условие $(a-2) \cdot f(3) > 0$ дает $(a-2)(4a-15) > 0$, что выполняется при $a \in (-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех найденных условий:

$\left((-\infty; 2) \cup (2; 6)\right) \cap (3; \infty) \cap (2; \infty) \cap \left((-\infty; 2) \cup (15/4; \infty)\right)$.

Объединяем все условия: $a < 6$ и $a > 3$ и $a > 2$ и ($a < 2$ или $a > 15/4$).

Совокупность условий $a > 3$ и $a > 2$ эквивалентна $a > 3$.

Получаем систему: $a < 6$ и $a > 3$ и ($a < 2$ или $a > 15/4$).

Так как $15/4 = 3.75$, пересечение $a > 3$ и ($a < 2$ или $a > 15/4$) дает $a > 15/4$.

Остается система: $a < 6$ и $a > 15/4$.

Итоговое решение: $a \in (15/4; 6)$.

Ответ: $a \in (\frac{15}{4}; 6)$.

34.24. Решите неравенство (относительно x):

$(a - 1)x^2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 \leq 0.$

Для решения неравенства $(a-1)x^2 + 2(2a+1)x + 4a+3 \le 0$ относительно $x$, необходимо рассмотреть несколько случаев в зависимости от значения параметра $a$.

Сначала рассмотрим случай, когда неравенство является линейным, а затем — когда оно квадратное. Для квадратного неравенства вида $Ax^2+Bx+C \le 0$ решение зависит от знака старшего коэффициента $A$ и дискриминанта $D$.

В нашем случае $A = a-1$, $B = 2(2a+1)$, $C = 4a+3$. Вычислим четверть дискриминанта ($D/4$):

$D/4 = (2a+1)^2 - (a-1)(4a+3) = (4a^2+4a+1) - (4a^2+3a-4a-3) = 4a^2+4a+1 - (4a^2-a-3) = 5a+4$.

Корни квадратного уравнения $(a-1)x^2 + 2(2a+1)x + 4a+3 = 0$ (если они существуют) равны $x_{1,2} = \frac{-(2a+1) \pm \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Рассмотрим решения для различных интервалов значений $a$.

При $a \le -4/5$

В этом случае старший коэффициент $a-1 < -4/5 - 1 = -9/5 < 0$, следовательно, ветви параболы $y=(a-1)x^2 + 2(2a+1)x + 4a+3$ направлены вниз. Дискриминант $D/4 = 5a+4 \le 0$. Это означает, что парабола не имеет точек пересечения с осью абсцисс (при $D/4<0$) или касается ее в одной точке (при $D/4=0$). В обоих случаях парабола целиком лежит не выше оси абсцисс. Таким образом, неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

При $-4/5 < a < 1$

Старший коэффициент $a-1 < 0$ (ветви параболы направлены вниз). Дискриминант $D/4 = 5a+4 > 0$, следовательно, парабола пересекает ось абсцисс в двух различных точках. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для значений $x$ вне отрезка между корнями. Корни равны $x_{1,2} = \frac{-2a-1 \pm \sqrt{5a+4}}{a-1}$. Так как знаменатель $a-1$ отрицателен, меньшим корнем будет тот, у которого в числителе знак "плюс" перед корнем, а большим — тот, у которого "минус".

Меньший корень: $x_1 = \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Больший корень: $x_2 = \frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Решение представляет собой объединение двух лучей.

Ответ: $x \in \left(-\infty, \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1}\right] \cup \left[\frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}, +\infty\right)$.

При $a=1$

Коэффициент при $x^2$ равен нулю, и неравенство становится линейным:

$(1-1)x^2 + 2(2 \cdot 1+1)x + 4 \cdot 1 + 3 \le 0$

$6x + 7 \le 0$

$6x \le -7$

$x \le -7/6$

Ответ: $x \in (-\infty, -7/6]$.

При $a > 1$

Старший коэффициент $a-1 > 0$ (ветви параболы направлены вверх). Дискриминант $D/4 = 5a+4 > 5(1)+4=9 > 0$, так что всегда есть два различных корня. Неравенство $f(x) \le 0$ выполняется для значений $x$ на отрезке между корнями. Так как знаменатель $a-1$ положителен, меньший корень имеет в числителе знак "минус" перед корнем, а больший — "плюс".

Меньший корень: $x_1 = \frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Больший корень: $x_2 = \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1}$.

Решение — это отрезок между корнями.

Ответ: $x \in \left[ \frac{-2a-1 - \sqrt{5a+4}}{a-1}, \frac{-2a-1 + \sqrt{5a+4}}{a-1} \right]$.

34.25. a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = ax^3 + 3ax^2 + 6x + 7$ возрастает на всей числовой прямой?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 6a^2x + 3$ имеет минимум в точке $x = 3$?

а) Чтобы функция $y = ax^3 + 3x^2 + 6x + 7$ возрастала на всей числовой прямой, ее производная должна быть неотрицательной для всех действительных значений $x$, то есть $y' \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:
$y' = (ax^3 + 3x^2 + 6x + 7)' = 3ax^2 + 6x + 6$.

Теперь решим неравенство $3ax^2 + 6x + 6 \ge 0$ относительно $x$. Это квадратичное неравенство.

Рассмотрим два случая:

1. Если $a = 0$, неравенство принимает вид $6x + 6 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Это условие выполняется не для всех $x$ на числовой прямой. Следовательно, $a=0$ не является решением.

2. Если $a \neq 0$, то $3ax^2 + 6x + 6$ — это квадратичная функция. Ее график — парабола. Для того чтобы неравенство $3ax^2 + 6x + 6 \ge 0$ выполнялось для всех $x$, парабола должна быть расположена не ниже оси абсцисс. Это возможно только если ветви параболы направлены вверх и она имеет не более одной точки пересечения с осью $x$. Это означает, что должны выполняться два условия одновременно:

• Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным: $3a > 0$, то есть $a > 0$.
• Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным (чтобы было не более одного корня): $D \le 0$.

Вычислим дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot (3a) \cdot 6 = 36 - 72a$.

Решим неравенство $D \le 0$:
$36 - 72a \le 0$
$36 \le 72a$
$a \ge \frac{36}{72}$
$a \ge \frac{1}{2}$

Объединяя два условия ($a > 0$ и $a \ge \frac{1}{2}$), получаем, что $a \ge \frac{1}{2}$.

Ответ: $a \in [\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) Чтобы функция $y = 2x^3 - 6a^2x + 3$ имела минимум в точке $x = 3$, должны выполняться два условия:

1. Необходимое условие экстремума: производная функции в этой точке должна быть равна нулю, то есть $y'(3) = 0$.

2. Достаточное условие минимума: вторая производная в этой точке должна быть положительной, то есть $y''(3) > 0$.

Найдем первую производную:
$y' = (2x^3 - 6a^2x + 3)' = 6x^2 - 6a^2$.

Применим необходимое условие:
$y'(3) = 6(3)^2 - 6a^2 = 0$
$6 \cdot 9 - 6a^2 = 0$
$54 - 6a^2 = 0$
$6a^2 = 54$
$a^2 = 9$
$a = 3$ или $a = -3$.

Теперь проверим достаточное условие. Найдем вторую производную:
$y'' = (6x^2 - 6a^2)' = 12x$.

Вычислим значение второй производной в точке $x = 3$:
$y''(3) = 12 \cdot 3 = 36$.

Так как $y''(3) = 36 > 0$, точка $x=3$ действительно является точкой минимума. Это условие выполняется независимо от значения параметра $a$. Следовательно, найденные значения $a$ являются решением задачи.

Ответ: $a = -3, a = 3$.

Решите уравнение:

34.26. а) $ \sin x = 3a - 2; $

б) $ \cos^2 x = 2a - 1. $

a) $ \sin x = 3a - 2; $
Данное уравнение является простейшим тригонометрическим уравнением вида $ \sin x = C $. Оно имеет решение только в том случае, когда значение $ C $ находится в пределах области значений функции синус, то есть $ -1 \le C \le 1 $.
В нашем случае $ C = 3a - 2 $. Следовательно, уравнение имеет решения при выполнении условия:
$ -1 \le 3a - 2 \le 1 $
Прибавим ко всем частям неравенства 2:
$ -1 + 2 \le 3a \le 1 + 2 $
$ 1 \le 3a \le 3 $
Разделим все части неравенства на 3:
$ \frac{1}{3} \le a \le 1 $
Таким образом, уравнение имеет решения только при $ a \in [\frac{1}{3}; 1] $.
При этих значениях $ a $ общее решение уравнения записывается по формуле:
$ x = (-1)^k \arcsin(3a - 2) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Если $ a < \frac{1}{3} $ или $ a > 1 $, то выражение $ 3a - 2 $ выходит за пределы отрезка $ [-1; 1] $, и уравнение не имеет решений.

Ответ: если $ a \in [\frac{1}{3}; 1] $, то $ x = (-1)^k \arcsin(3a - 2) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; если $ a \notin [\frac{1}{3}; 1] $, то решений нет.

б) $ \cos^2 x = 2a - 1. $
Область значений функции $ y = \cos^2 x $ — это отрезок $ [0; 1] $, так как $ -1 \le \cos x \le 1 $, и при возведении в квадрат результат не может быть отрицательным.
Следовательно, данное уравнение имеет решения только при условии:
$ 0 \le 2a - 1 \le 1 $
Прибавим ко всем частям неравенства 1:
$ 0 + 1 \le 2a \le 1 + 1 $
$ 1 \le 2a \le 2 $
Разделим все части неравенства на 2:
$ \frac{1}{2} \le a \le 1 $
Уравнение имеет решения только при $ a \in [\frac{1}{2}; 1] $.
Для решения уравнения воспользуемся формулой понижения степени: $ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} $.
Подставим это в исходное уравнение:
$ \frac{1 + \cos(2x)}{2} = 2a - 1 $
Умножим обе части на 2:
$ 1 + \cos(2x) = 4a - 2 $
Выразим $ \cos(2x) $:
$ \cos(2x) = 4a - 3 $
Теперь решим это уравнение относительно $ 2x $. Общее решение для $ \cos y = C $: $ y = \pm \arccos(C) + 2\pi k $.
$ 2x = \pm \arccos(4a - 3) + 2\pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Разделим обе части на 2, чтобы найти $ x $:
$ x = \pm \frac{1}{2} \arccos(4a - 3) + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z} $.
Если $ a < \frac{1}{2} $ или $ a > 1 $, то уравнение не имеет решений.

Ответ: если $ a \in [\frac{1}{2}; 1] $, то $ x = \pm \frac{1}{2} \arccos(4a - 3) + \pi k, k \in \mathbb{Z} $; если $ a \notin [\frac{1}{2}; 1] $, то решений нет.

34.27. a) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = a;$

б) $3 \sin x + 4 \cos x = 2a - 1.$

а) Данное уравнение $\sqrt{3} \sin x + \cos x = a$ является линейным тригонометрическим уравнением вида $A \sin x + B \cos x = C$. Для нахождения значений параметра $a$, при которых уравнение имеет решения, воспользуемся методом введения вспомогательного угла.

Преобразуем левую часть уравнения. Для этого вынесем за скобки множитель $R = \sqrt{A^2 + B^2}$, где $A = \sqrt{3}$ и $B=1$.

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Выносим 2 за скобки в левой части уравнения:

$2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x \right) = a$.

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$. Подставим эти значения в уравнение:

$2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin x + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos x \right) = a$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$, сворачиваем выражение в скобках:

$2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = a$.

Уравнение имеет решения тогда и только тогда, когда значение правой части ($a$) принадлежит области значений левой части. Область значений функции $y = \sin(\alpha)$ есть отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений функции $y = 2 \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ есть отрезок $[-2, 2]$.

Таким образом, для того чтобы уравнение имело решения, должно выполняться неравенство:

$-2 \le a \le 2$.

Ответ: $a \in [-2, 2]$.

б) Рассмотрим уравнение $3 \sin x + 4 \cos x = 2a - 1$. Это также линейное тригонометрическое уравнение. Применим метод введения вспомогательного угла, аналогичный предыдущему пункту.

Здесь коэффициенты $A=3$ и $B=4$. Найдем множитель $R$:

$R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Выносим 5 за скобки в левой части уравнения:

$5 \left( \frac{3}{5} \sin x + \frac{4}{5} \cos x \right) = 2a - 1$.

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = \frac{3}{5}$ и $\sin \varphi = \frac{4}{5}$. Такой угол существует, так как выполняется основное тригонометрическое тождество: $\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Подставим $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ в уравнение:

$5 (\cos \varphi \sin x + \sin \varphi \cos x) = 2a - 1$.

Используя формулу синуса суммы, получаем:

$5 \sin(x + \varphi) = 2a - 1$.

Левая часть уравнения, $5 \sin(x + \varphi)$, принимает значения из отрезка $[-5, 5]$. Для того чтобы уравнение имело решения, его правая часть, $2a - 1$, должна принадлежать этому же отрезку.

Запишем соответствующее двойное неравенство:

$-5 \le 2a - 1 \le 5$.

Решим это неравенство относительно $a$. Прибавим 1 ко всем частям:

$-5 + 1 \le 2a \le 5 + 1$

$-4 \le 2a \le 6$.

Разделим все части на 2:

$-2 \le a \le 3$.

Ответ: $a \in [-2, 3]$.

34.28. При каких значениях параметра $a$ уравнение $ \sin 2x = a $ имеет на отрезке $[0; 2\pi]$ пять корней?

Для решения задачи рассмотрим уравнение $sin(2x) = a$ на отрезке $x \in [0; 2\pi]$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x$. Необходимо определить, какому отрезку принадлежит новая переменная $t$. Поскольку $0 \le x \le 2\pi$, умножим все части этого неравенства на 2, чтобы получить диапазон для $t$:$2 \cdot 0 \le 2 \cdot x \le 2 \cdot 2\pi$$0 \le t \le 4\pi$Таким образом, переменная $t$ принадлежит отрезку $[0; 4\pi]$.

Теперь задача сводится к нахождению таких значений параметра $a$, при которых уравнение $sin(t) = a$ имеет ровно пять корней на отрезке $[0; 4\pi]$.

Наиболее наглядно эту задачу можно решить графически. Для этого построим график функции $y = sin(t)$ на отрезке $[0; 4\pi]$ и рассмотрим его пересечения с горизонтальной прямой $y = a$. Количество корней уравнения будет равно количеству точек пересечения этих двух графиков.

График функции $y = sin(t)$ на отрезке $[0; 4\pi]$ представляет собой две полные волны синусоиды.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от значения параметра $a$:

• Если $|a| > 1$, прямая $y=a$ не пересекает график синусоиды, следовательно, уравнение не имеет корней.
• Если $a = 1$, прямая $y=1$ касается вершин синусоиды. На отрезке $[0; 4\pi]$ это происходит в двух точках: $t = \frac{\pi}{2}$ и $t = \frac{5\pi}{2}$. В этом случае уравнение имеет два корня.
• Если $a = -1$, прямая $y=-1$ касается самых низких точек синусоиды. На отрезке $[0; 4\pi]$ это происходит также в двух точках: $t = \frac{3\pi}{2}$ и $t = \frac{7\pi}{2}$. Уравнение имеет два корня.
• Если $0 < a < 1$ или $-1 < a < 0$, прямая $y=a$ пересекает каждую из двух полных волн синусоиды в двух точках. В обоих случаях общее количество точек пересечения равно четырем, следовательно, уравнение имеет четыре корня.
• Если $a = 0$, уравнение принимает вид $sin(t) = 0$. Прямая $y=0$ (ось абсцисс) пересекает график функции $y=sin(t)$ в точках, где $t = k\pi$ для целых $k$. Найдем все такие точки, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$: $t_1 = 0 \cdot \pi = 0$ $t_2 = 1 \cdot \pi = \pi$ $t_3 = 2 \cdot \pi = 2\pi$ $t_4 = 3 \cdot \pi = 3\pi$ $t_5 = 4 \cdot \pi = 4\pi$ Мы получили ровно пять различных корней для переменной $t$.

Таким образом, единственным значением параметра, при котором уравнение имеет пять корней, является $a=0$.При $a=0$ мы получили пять корней для $t$: $0, \pi, 2\pi, 3\pi, 4\pi$. Выполним обратную замену $x = t/2$, чтобы найти корни исходного уравнения:$x_1 = 0/2 = 0$$x_2 = \pi/2$$x_3 = 2\pi/2 = \pi$$x_4 = 3\pi/2$$x_5 = 4\pi/2 = 2\pi$Все пять корней принадлежат исходному отрезку $[0; 2\pi]$.

Ответ: $a=0$.