Страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

33.33. a) $\log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0,$

$9 x^2 y - x y^2 = 1;$

б) $2 \log_3^2 x + \log_3 x \log_3 y - \log_3^2 y = 0,$

$xy + \frac{x^2}{y} = 28.$

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0, \\ 9x^2y - xy^2 = 1; \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условиями существования логарифмов: $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $\log_2^2 y + \log_2 x \log_2 y - 2 \log_2^2 x = 0$.

Это уравнение является однородным квадратным уравнением относительно переменных $\log_2 y$ и $\log_2 x$. Сделаем замену: пусть $a = \log_2 y$ и $b = \log_2 x$.

Уравнение принимает вид: $a^2 + ab - 2b^2 = 0$.

Заметим, что если $b = \log_2 x = 0$, то $x=1$. Тогда из уравнения $a^2=0$, то есть $a = \log_2 y = 0$, что означает $y=1$. Подставив пару $(1, 1)$ во второе уравнение, получим $9(1)^2(1) - 1(1)^2 = 8 \ne 1$. Следовательно, $b \ne 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители: $(a-b)(a+2b)=0$.

Отсюда следует, что либо $a-b=0$, либо $a+2b=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. $a - b = 0 \implies a = b$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_2 y = \log_2 x$. Отсюда $y = x$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$9x^2(x) - x(x)^2 = 1$

$9x^3 - x^3 = 1$

$8x^3 = 1 \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$.

Так как $y=x$, то $y=\frac{1}{2}$. Получили решение $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Эта пара удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2. $a + 2b = 0 \implies a = -2b$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_2 y = -2\log_2 x = \log_2(x^{-2})$. Отсюда $y = \frac{1}{x^2}$.

Подставим $y = \frac{1}{x^2}$ во второе уравнение системы:

$9x^2\left(\frac{1}{x^2}\right) - x\left(\frac{1}{x^2}\right)^2 = 1$

$9 - x \cdot \frac{1}{x^4} = 1$

$9 - \frac{1}{x^3} = 1 \implies \frac{1}{x^3} = 8 \implies x^3 = \frac{1}{8} \implies x = \frac{1}{2}$.

Найдем $y$: $y = \frac{1}{(1/2)^2} = \frac{1}{1/4} = 4$.

Получили решение $(\frac{1}{2}, 4)$. Эта пара также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, 4)$.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2 \log_3^2 x + \log_3 x \log_3 y - \log_3^2 y = 0, \\ xy + \frac{x^2}{y} = 28. \end{cases} $$

ОДЗ: $x > 0$ и $y > 0$ (так как $y$ также находится в знаменателе).

Рассмотрим первое уравнение: $2 \log_3^2 x + \log_3 x \log_3 y - \log_3^2 y = 0$.

Это однородное квадратное уравнение относительно $\log_3 x$ и $\log_3 y$. Сделаем замену: пусть $a = \log_3 x$ и $b = \log_3 y$.

Уравнение принимает вид: $2a^2 + ab - b^2 = 0$.

Если $a = \log_3 x = 0$, то $x=1$. Тогда из уравнения $-b^2=0$, то есть $b = \log_3 y = 0$, что означает $y=1$. Подставив пару $(1, 1)$ во второе уравнение, получим $1 \cdot 1 + \frac{1^2}{1} = 2 \ne 28$. Следовательно, $a \ne 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители: $(2a-b)(a+b)=0$.

Отсюда следует, что либо $2a-b=0$, либо $a+b=0$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1. $2a - b = 0 \implies b = 2a$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_3 y = 2\log_3 x = \log_3(x^2)$. Отсюда $y = x^2$.

Подставим $y=x^2$ во второе уравнение системы:

$x(x^2) + \frac{x^2}{x^2} = 28$

$x^3 + 1 = 28$

$x^3 = 27 \implies x = 3$.

Тогда $y = x^2 = 3^2 = 9$. Получили решение $(3, 9)$. Эта пара удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2. $a + b = 0 \implies b = -a$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем: $\log_3 y = -\log_3 x = \log_3(x^{-1})$. Отсюда $y = \frac{1}{x}$.

Подставим $y = \frac{1}{x}$ во второе уравнение системы:

$x\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{x^2}{1/x} = 28$

$1 + x^3 = 28$

$x^3 = 27 \implies x = 3$.

Найдем $y$: $y = \frac{1}{3}$.

Получили решение $(3, \frac{1}{3})$. Эта пара также удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(3, 9), (3, \frac{1}{3})$.

33.34. a) $\begin{cases} x^2 + \lg x = y^2 + \lg y, \\ \sqrt{x - y} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2\sqrt{x} = y + 2\sqrt{y}, \\ x^2 + x + y^2 + y = 12. \end{cases}$

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + \lg x = y^2 + \lg y, \\ \sqrt{x - y} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4; \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия логарифмов $\lg x$ и $\lg y$, должно выполняться $x > 0$ и $y > 0$. Из-за наличия квадратного корня $\sqrt{x-y}$, должно выполняться $x - y \ge 0$, то есть $x \ge y$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + \lg x = y^2 + \lg y$.

Введем функцию $f(t) = t^2 + \lg t$. Тогда уравнение можно записать в виде $f(x) = f(y)$.

Найдем производную этой функции: $f'(t) = (t^2 + \lg t)' = 2t + \frac{1}{t \ln 10}$.

В области допустимых значений $t > 0$, оба слагаемых $2t$ и $\frac{1}{t \ln 10}$ положительны. Следовательно, $f'(t) > 0$ для всех $t > 0$.

Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно только тогда, когда $x = y$.

Теперь подставим $x = y$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{x - x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} = 4$

$\sqrt{0} + 2\sqrt{x} = 4$

$2\sqrt{x} = 4$

$\sqrt{x} = 2$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 4$.

Так как $x = y$, то $y = 4$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(4, 4)$ ОДЗ: $x=4 > 0$, $y=4 > 0$ и $x \ge y$ ($4 \ge 4$). Все условия выполнены.

Подставим значения в исходную систему для проверки:

1) $4^2 + \lg 4 = 4^2 + \lg 4 \implies 16 + \lg 4 = 16 + \lg 4$ (верно).

2) $\sqrt{4 - 4} + \sqrt{4} + \sqrt{4} = \sqrt{0} + 2 + 2 = 4$ (верно).

Ответ: $(4, 4)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2\sqrt{x} = y + 2\sqrt{y}, \\ x^2 + x + y^2 + y = 12. \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратных корней $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, поэтому $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x + 2\sqrt{x} = y + 2\sqrt{y}$.

Введем функцию $g(t) = t + 2\sqrt{t}$ с областью определения $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно записать как $g(x) = g(y)$.

Найдем производную этой функции для $t > 0$: $g'(t) = (t + 2\sqrt{t})' = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{t}}$.

При $t > 0$ производная $g'(t)$ всегда положительна. Это означает, что функция $g(t)$ является строго возрастающей на промежутке $(0, +\infty)$. Так как $g(0) = 0$ и функция непрерывна в этой точке, она строго возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

Для строго возрастающей функции равенство $g(x) = g(y)$ возможно только при $x = y$.

(Альтернативный способ) Преобразуем первое уравнение:

$x - y + 2\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 0$

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 + 2(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 0$

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 2(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 0$

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 2) = 0$

Поскольку $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{y} \ge 0$. Значит, выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y} + 2$ всегда больше или равно 2, и не может быть равно нулю. Следовательно, единственным решением является $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 0$, откуда $\sqrt{x} = \sqrt{y}$ и $x=y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + x + x^2 + x = 12$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

1. Если $x = 2$, то $y = 2$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 0$).

2. Если $x = -3$, то $y = -3$. Это решение не удовлетворяет ОДЗ ($-3 < 0$), поэтому является посторонним.

Единственное решение системы — $(2, 2)$.

Выполним проверку, подставив $(2, 2)$ в исходную систему:

1) $2 + 2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2}$ (верно).

2) $2^2 + 2 + 2^2 + 2 = 4 + 2 + 4 + 2 = 12$ (верно).

Ответ: $(2, 2)$.

Решите систему уравнений:

33.35. a) $\begin{cases} \text{tg}^2 x + \sin y = 2, \\ 3 \sin y + \text{tg}^2 x = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos (x + y) + \sin xy = 1, \\ 2 \sin xy + \cos (x + y) = -1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ \sin x = y; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 2 \sin (x + y) - 3 \cos (x - y) = 5, \\ 7 \cos (x - y) + 5 \sin (x + y) = -2; \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \text{tg}^2 x + \sin y = 2, \\ 3 \sin y + \text{tg}^2 x = 0; \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $u = \text{tg}^2 x$ и $v = \sin y$. Так как $u$ является квадратом тангенса, $u \ge 0$. Так как $v$ является синусом, $-1 \le v \le 1$.

Система уравнений в новых переменных имеет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 2, \\ u + 3v = 0; \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(u + 3v) - (u + v) = 0 - 2$

$2v = -2$

$v = -1$

Подставим значение $v$ в первое уравнение:

$u + (-1) = 2$

$u = 3$

Получили $u = 3$ и $v = -1$. Проверим условия для переменных: $u = 3 \ge 0$ и $-1 \le v = -1 \le 1$. Условия выполняются.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

Из $u = \text{tg}^2 x = 3$ следует, что $\text{tg} x = \pm\sqrt{3}$. Это дает два семейства решений для $x$, которые можно объединить в одну запись: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$.

Из $v = \sin y = -1$ следует, что $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; \quad y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \cos(x+y) + \sin(xy) = 1, \\ 2\sin(xy) + \cos(x+y) = -1; \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \cos(x+y)$ и $b = \sin(xy)$.

Система уравнений в новых переменных имеет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 1, \\ a + 2b = -1; \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(a + 2b) - (a + b) = -1 - 1$

$b = -2$

Подставим значение $b$ в первое уравнение:

$a + (-2) = 1$

$a = 3$

Таким образом, мы получили, что $\cos(x+y) = 3$ и $\sin(xy) = -2$.

Однако, область значений функций синуса и косинуса — это отрезок $[-1, 1]$.

Поскольку $3 \notin [-1, 1]$ и $-2 \notin [-1, 1]$, то уравнения $\cos(x+y) = 3$ и $\sin(xy) = -2$ не имеют действительных решений.

Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} y - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x, \\ \sin x = y; \end{cases} $$

Подставим второе уравнение в первое, заменив $y$ на $\sin x$:

$\sin x - 1 = \left(\frac{1}{3}\right)^x$

Рассмотрим области значений левой и правой частей этого уравнения.

Левая часть: $\sin x - 1$. Поскольку область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$, то область значений выражения $\sin x - 1$ — это отрезок $[-1-1, 1-1]$, то есть $[-2, 0]$.

Правая часть: $\left(\frac{1}{3}\right)^x$. Это показательная функция, область значений которой — все положительные действительные числа, то есть $(0, +\infty)$.

Для того чтобы уравнение имело решение, необходимо, чтобы левая и правая части были равны. Однако левая часть всегда неположительна ($\le 0$), а правая часть всегда строго положительна ($> 0$).

Таким образом, равенство невозможно ни при каком значении $x$. Следовательно, система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2\sin(x+y) - 3\cos(x-y) = 5, \\ 7\cos(x-y) + 5\sin(x+y) = -2; \end{cases} $$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sin(x+y)$ и $b = \cos(x-y)$.

Система уравнений в новых переменных имеет вид:

$$ \begin{cases} 2a - 3b = 5, \\ 5a + 7b = -2; \end{cases} $$

Решим эту линейную систему. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -2:

$$ \begin{cases} 10a - 15b = 25, \\ -10a - 14b = 4; \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(10a - 15b) + (-10a - 14b) = 25 + 4$

$-29b = 29$

$b = -1$

Подставим значение $b = -1$ в первое уравнение ($2a - 3b = 5$):

$2a - 3(-1) = 5$

$2a + 3 = 5$

$2a = 2$

$a = 1$

Таким образом, мы получили $a = \sin(x+y) = 1$ и $b = \cos(x-y) = -1$. Вернемся к переменным $x$ и $y$.

$$ \begin{cases} \sin(x+y) = 1, \\ \cos(x-y) = -1; \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем: $x+y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения получаем: $x-y = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь у нас есть система линейных уравнений относительно $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \\ x-y = \pi + 2\pi n; \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$2x = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) + (\pi + 2\pi n) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi(k+n)$

$x = \frac{3\pi}{4} + \pi(k+n)$

Вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти $y$:

$2y = \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) - (\pi + 2\pi n) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k-n)$

$y = -\frac{\pi}{4} + \pi(k-n)$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi(k+n), \quad y = -\frac{\pi}{4} + \pi(k-n)$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

33.36. a) $\begin{cases} \sin x \sin y = 0.25, \\ x + y = \frac{\pi}{3}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 0.5. \end{cases}$

а)Дана система уравнений:$\begin{cases} \sin x \sin y = 0,25, \\ x + y = \frac{\pi}{3};\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{3} - x$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$\sin x \sin(\frac{\pi}{3} - x) = 0,25$
Воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в разность косинусов:
$\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))$
В нашем случае $\alpha = x$ и $\beta = \frac{\pi}{3} - x$. Тогда:
$\alpha - \beta = x - (\frac{\pi}{3} - x) = 2x - \frac{\pi}{3}$
$\alpha + \beta = x + (\frac{\pi}{3} - x) = \frac{\pi}{3}$
Подставляем в уравнение:
$\frac{1}{2}(\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \cos(\frac{\pi}{3})) = 0,25$
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $0,25 = \frac{1}{4}$, получаем:
$\frac{1}{2}(\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$
Это простейшее тригонометрическое уравнение, его решение имеет вид:
$2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем соответствующее значение для $y$:
$y = \frac{\pi}{3} - x = \frac{\pi}{3} - (\frac{\pi}{6} + \pi n) = \frac{2\pi - \pi}{6} - \pi n = \frac{\pi}{6} - \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(x, y)$.
Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = \frac{\pi}{4}, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = 0,5.\end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = \frac{\pi}{4} - x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\sin^2 x + \cos^2(\frac{\pi}{4} - x) = 0,5$
Воспользуемся формулами понижения степени:
$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$
$\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$
Подставим их в уравнение:
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(2(\frac{\pi}{4} - x))}{2} = 0,5$
$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x)}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части на 2:
$1 - \cos(2x) + 1 + \cos(\frac{\pi}{2} - 2x) = 1$
Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha$:
$2 - \cos(2x) + \sin(2x) = 1$
$\sin(2x) - \cos(2x) = -1$
Преобразуем левую часть методом вспомогательного угла. Умножим и разделим на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$:
$\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(2x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2x)) = -1$
$\sqrt{2}(\cos(\frac{\pi}{4})\sin(2x) - \sin(\frac{\pi}{4})\cos(2x)) = -1$
Используем формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$:
$\sqrt{2}\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -1$
$\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
Решения этого уравнения распадаются на две серии:
1) $2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = 2\pi n$
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $y = \frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{4} - \pi n$.
Первая серия решений: $(\pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $2x - \frac{\pi}{4} = \pi - (-\frac{\pi}{4}) + 2\pi n = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$
$2x = \frac{5\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{6\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Тогда $y = \frac{\pi}{4} - x = \frac{\pi}{4} - (\frac{3\pi}{4} + \pi n) = -\frac{2\pi}{4} - \pi n = -\frac{\pi}{2} - \pi n$.
Вторая серия решений: $(\frac{3\pi}{4} + \pi n, -\frac{\pi}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $(\pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, $(\frac{3\pi}{4} + \pi n, -\frac{\pi}{2} - \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

33.37. a) $$\begin{cases} \sin x + \cos y = 0, \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2}; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5, \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75. \end{cases}$$

a)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin x + \cos y = 0 \\ \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $u = \sin x$ и $v = \cos y$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} u + v = 0 \\ u^2 + v^2 = \frac{1}{2} \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $v$: $v = -u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u^2 + (-u)^2 = \frac{1}{2}$

$u^2 + u^2 = \frac{1}{2}$

$2u^2 = \frac{1}{2}$

$u^2 = \frac{1}{4}$

Отсюда находим два возможных значения для $u$: $u_1 = \frac{1}{2}$ и $u_2 = -\frac{1}{2}$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. $u = \frac{1}{2}$.

Тогда $v = -u = -\frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$\sin x = \frac{1}{2}$ и $\cos y = -\frac{1}{2}$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2. $u = -\frac{1}{2}$.

Тогда $v = -u = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

$\sin x = -\frac{1}{2}$ и $\cos y = \frac{1}{2}$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n; \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \right)$,
$\left( (-1)^{m+1} \frac{\pi}{6} + \pi m; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l \right)$, где $n, k, m, l \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \sin^2 x + \sin^2 y = 1,75 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$.

$(1 - \cos^2 x) + (1 - \cos^2 y) = 1,75$

$2 - (\cos^2 x + \cos^2 y) = 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 2 - 1,75$

$\cos^2 x + \cos^2 y = 0,25$

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей:

$$ \begin{cases} \cos x + \cos y = 0,5 \\ \cos^2 x + \cos^2 y = 0,25 \end{cases} $$

Введем замену переменных. Пусть $a = \cos x$ и $b = \cos y$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 0,5 \\ a^2 + b^2 = 0,25 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 0,5 - a$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$a^2 + (0,5 - a)^2 = 0,25$

$a^2 + 0,25 - a + a^2 = 0,25$

$2a^2 - a = 0$

$a(2a - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения для $a$: $a_1 = 0$ и $a_2 = 0,5$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. $a = 0$.

Тогда $b = 0,5 - a = 0,5$.

Выполним обратную замену:

$\cos x = 0$ и $\cos y = 0,5$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Случай 2. $a = 0,5$.

Тогда $b = 0,5 - a = 0$.

Выполним обратную замену:

$\cos x = 0,5$ и $\cos y = 0$.

Решаем каждое уравнение отдельно:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

$y = \frac{\pi}{2} + \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $\left( \frac{\pi}{2} + \pi n; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \right)$,
$\left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi m; \frac{\pi}{2} + \pi l \right)$, где $n, k, m, l \in \mathbb{Z}$.

33.38. a) $\begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos y \cos x = -\frac{1}{4}, \\ \operatorname{tg} y = \operatorname{ctg} x. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sin x \sin y = -\frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1. \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение системы: $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1$. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $y \neq \pi n$, $x \neq \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. Из первого уравнения $\sin x \sin y = -1/2$ следует, что $\sin x \neq 0$ и $\sin y \neq 0$, так что часть ОДЗ уже выполнена.

Преобразуем второе уравнение. Если $\operatorname{ctg} y \neq 0$, то $\operatorname{tg} x = \frac{1}{\operatorname{ctg} y}$, что равносильно $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y$. Это равенство выполняется, когда $x = y + \pi k$ для любого целого числа $k$. При этом условии, если $\cos y \neq 0$, то и $\cos x = \cos(y+\pi k) = (-1)^k \cos y \neq 0$. Таким образом, ОДЗ для тангенсов будет соблюдено.

Подставим $x = y + \pi k$ в первое уравнение системы: $$ \sin(y + \pi k) \sin y = -\frac{1}{2} $$ Используя формулу приведения $\sin(y + \pi k) = (-1)^k \sin y$, получаем: $$ (-1)^k \sin y \cdot \sin y = -\frac{1}{2} $$ $$ (-1)^k \sin^2 y = -\frac{1}{2} $$ Так как $\sin^2 y \ge 0$, это равенство возможно только если $(-1)^k = -1$, то есть $k$ — нечетное целое число. Пусть $k = 2n+1$ для $n \in \mathbb{Z}$.

Тогда уравнение принимает вид: $$ -\sin^2 y = -\frac{1}{2} $$ $$ \sin^2 y = \frac{1}{2} $$ Из этого следует, что $\sin y = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$. Проверим ОДЗ: $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - 1/2 = 1/2$, так что $\cos y \neq 0$. Общее решение для уравнения $\sin^2 y = 1/2$ можно найти, решив эквивалентное уравнение $\cos(2y) = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2(1/2) = 0$. Отсюда $2y = \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. $$ y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}, \quad m \in \mathbb{Z} $$ Соответствующие значения $x$ находим из соотношения $x = y + \pi k$, где $k$ — нечетное число ($k=2n+1$): $$ x = \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}\right) + (2n+1)\pi, \quad m, n \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} + (2n+1)\pi, y = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, где $m, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \cos y \cos x = -\frac{1}{4}, \\ \operatorname{tg} y = \operatorname{ctg} x. \end{cases} $$ Рассмотрим второе уравнение: $\operatorname{tg} y = \operatorname{ctg} x$. ОДЗ: $\cos y \neq 0$, $\sin x \neq 0$. Из первого уравнения $\cos y \cos x = -1/4$ следует, что $\cos y \neq 0$ и $\cos x \neq 0$.

Используя формулу приведения $\operatorname{ctg} x = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2} - x)$, перепишем второе уравнение: $$ \operatorname{tg} y = \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) $$ Это равенство выполняется, когда $y = \frac{\pi}{2} - x + \pi k$ для любого целого числа $k$. Отсюда получаем соотношение: $x + y = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Теперь воспользуемся первым уравнением $\cos y \cos x = -1/4$. Применим формулу произведения косинусов: $$ \frac{1}{2}(\cos(x+y) + \cos(x-y)) = -\frac{1}{4} $$ $$ \cos(x+y) + \cos(x-y) = -\frac{1}{2} $$ Подставим найденное выражение для $x+y$: $$ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \pi k\right) + \cos(x-y) = -\frac{1}{2} $$ Так как $\cos(\frac{\pi}{2} + \pi k) = 0$ для любого целого $k$, получаем: $$ \cos(x-y) = -\frac{1}{2} $$ Решения этого уравнения: $x-y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$ для любого целого $m$.

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} x+y = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ x-y = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi m \end{cases} $$ где $k, m \in \mathbb{Z}$. Решим эту систему для двух случаев знака.

Случай 1: $x-y = \frac{2\pi}{3} + 2\pi m$.
Складывая уравнения, получаем $2x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + (\frac{2\pi}{3} + 2\pi m) = \frac{7\pi}{6} + \pi(k+2m)$, откуда $x = \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - (\frac{2\pi}{3} + 2\pi m) = -\frac{\pi}{6} + \pi(k-2m)$, откуда $y = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m$.

Случай 2: $x-y = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi m$.
Складывая уравнения, получаем $2x = (\frac{\pi}{2} + \pi k) - (\frac{2\pi}{3} - 2\pi m) = -\frac{\pi}{6} + \pi(k+2m)$, откуда $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m$.
Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = (\frac{\pi}{2} + \pi k) + (\frac{2\pi}{3} - 2\pi m) = \frac{7\pi}{6} + \pi(k-2m)$, откуда $y = \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m$.

Проверка ОДЗ $\sin x \neq 0$ показывает, что $x$ не может быть равно $p\pi$ для целого $p$, так как это приводит к неверному равенству (например, в первом случае $\frac{7}{12} + \frac{k}{2} + m = p \implies 7 = 6(2p - k - 2m)$, что невозможно, так как 7 не делится на 6).

Ответ: Пары $(x, y)$ являются решениями, где $k, m \in \mathbb{Z}$:
$\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m, -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m\right)$ и $\left(-\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} + \pi m, \frac{7\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} - \pi m\right)$.