Номер 33.34, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.34, страница 214.

33.34. a) $\begin{cases} x^2 + \lg x = y^2 + \lg y, \\ \sqrt{x - y} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + 2\sqrt{x} = y + 2\sqrt{y}, \\ x^2 + x + y^2 + y = 12. \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + \lg x = y^2 + \lg y, \\ \sqrt{x - y} + \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4; \end{cases} $$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Из-за наличия логарифмов $\lg x$ и $\lg y$, должно выполняться $x > 0$ и $y > 0$. Из-за наличия квадратного корня $\sqrt{x-y}$, должно выполняться $x - y \ge 0$, то есть $x \ge y$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge y > 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + \lg x = y^2 + \lg y$.

Введем функцию $f(t) = t^2 + \lg t$. Тогда уравнение можно записать в виде $f(x) = f(y)$.

Найдем производную этой функции: $f'(t) = (t^2 + \lg t)' = 2t + \frac{1}{t \ln 10}$.

В области допустимых значений $t > 0$, оба слагаемых $2t$ и $\frac{1}{t \ln 10}$ положительны. Следовательно, $f'(t) > 0$ для всех $t > 0$.

Это означает, что функция $f(t)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.

Для строго возрастающей функции равенство $f(x) = f(y)$ возможно только тогда, когда $x = y$.

Теперь подставим $x = y$ во второе уравнение системы:

$\sqrt{x - x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} = 4$

$\sqrt{0} + 2\sqrt{x} = 4$

$2\sqrt{x} = 4$

$\sqrt{x} = 2$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 4$.

Так как $x = y$, то $y = 4$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(4, 4)$ ОДЗ: $x=4 > 0$, $y=4 > 0$ и $x \ge y$ ($4 \ge 4$). Все условия выполнены.

Подставим значения в исходную систему для проверки:

1) $4^2 + \lg 4 = 4^2 + \lg 4 \implies 16 + \lg 4 = 16 + \lg 4$ (верно).

2) $\sqrt{4 - 4} + \sqrt{4} + \sqrt{4} = \sqrt{0} + 2 + 2 = 4$ (верно).

Ответ: $(4, 4)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2\sqrt{x} = y + 2\sqrt{y}, \\ x^2 + x + y^2 + y = 12. \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется наличием квадратных корней $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, поэтому $x \ge 0$ и $y \ge 0$.

Рассмотрим первое уравнение: $x + 2\sqrt{x} = y + 2\sqrt{y}$.

Введем функцию $g(t) = t + 2\sqrt{t}$ с областью определения $t \ge 0$. Тогда первое уравнение можно записать как $g(x) = g(y)$.

Найдем производную этой функции для $t > 0$: $g'(t) = (t + 2\sqrt{t})' = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{t}}$.

При $t > 0$ производная $g'(t)$ всегда положительна. Это означает, что функция $g(t)$ является строго возрастающей на промежутке $(0, +\infty)$. Так как $g(0) = 0$ и функция непрерывна в этой точке, она строго возрастает на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

Для строго возрастающей функции равенство $g(x) = g(y)$ возможно только при $x = y$.

(Альтернативный способ) Преобразуем первое уравнение:

$x - y + 2\sqrt{x} - 2\sqrt{y} = 0$

$(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 + 2(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 0$

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) + 2(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 0$

$(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y} + 2) = 0$

Поскольку $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$ и $\sqrt{y} \ge 0$. Значит, выражение $\sqrt{x} + \sqrt{y} + 2$ всегда больше или равно 2, и не может быть равно нулю. Следовательно, единственным решением является $\sqrt{x} - \sqrt{y} = 0$, откуда $\sqrt{x} = \sqrt{y}$ и $x=y$.

Подставим $x = y$ во второе уравнение системы:

$x^2 + x + x^2 + x = 12$

$2x^2 + 2x - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета. Сумма корней равна $-1$, произведение равно $-6$. Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

1. Если $x = 2$, то $y = 2$. Это решение удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 0$).

2. Если $x = -3$, то $y = -3$. Это решение не удовлетворяет ОДЗ ($-3 < 0$), поэтому является посторонним.

Единственное решение системы — $(2, 2)$.

Выполним проверку, подставив $(2, 2)$ в исходную систему:

1) $2 + 2\sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2}$ (верно).

2) $2^2 + 2 + 2^2 + 2 = 4 + 2 + 4 + 2 = 12$ (верно).

Ответ: $(2, 2)$.