Номер 33.28, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.28, страница 213.

33.28. a) $\begin{cases}5^{\sqrt[3]{x}} = 5^{3 - \sqrt[3]{y}}, \\(0,25^x)^y = \frac{1}{2^{16}};\end{cases}$

б) $\begin{cases}32^{\sqrt[3]{x-2y}} \cdot 8^{\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}, \\\frac{8^{\sqrt[3]{x-2y}}}{16^{\sqrt[3]{x+y}}} = 4.\end{cases}$

a)

Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} 5^{\sqrt[3]{x}} = 5^{3-\sqrt[3]{y}} \\ (0,25^x)^y = \frac{1}{2^{16}} \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение. Так как основания степеней равны, то можем приравнять их показатели:
$\sqrt[3]{x} = 3 - \sqrt[3]{y}$
$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3$
Теперь преобразуем второе уравнение. Представим 0,25 в виде степени с основанием 2: $0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
$((2^{-2})^x)^y = \frac{1}{2^{16}}$
$2^{-2xy} = 2^{-16}$
Приравниваем показатели степеней:
$-2xy = -16$
$xy = 8$
В итоге мы получили новую, более простую систему:
$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ xy = 8 \end{cases} $
Для решения введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$.
Подставим это в нашу систему:
$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^3 b^3 = 8 \end{cases} $
Из второго уравнения получаем: $(ab)^3 = 2^3$, откуда $ab = 2$.
Теперь система для $a$ и $b$ выглядит так:
$ \begin{cases} a + b = 3 \\ ab = 2 \end{cases} $
Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Следовательно, у нас есть два возможных случая:
1) $a = 1, b = 2$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x = a^3 = 1^3 = 1$
$y = b^3 = 2^3 = 8$
Получили решение $(1, 8)$.
2) $a = 2, b = 1$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x = a^3 = 2^3 = 8$
$y = b^3 = 1^3 = 1$
Получили решение $(8, 1)$.

Ответ: $(1, 8), (8, 1)$.

б)

Рассмотрим данную систему уравнений:
$ \begin{cases} 32^{\sqrt[3]{x-2y}} \cdot 8^{\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13} \\ \frac{8^{\sqrt[3]{x-2y}}}{16^{\sqrt[3]{x+y}}} = 4 \end{cases} $
Представим все числовые основания в виде степеней числа 2: $32=2^5$, $8=2^3$, $16=2^4$, $4=2^2$.
Подставим эти значения в систему.
Первое уравнение:
$(2^5)^{\sqrt[3]{x-2y}} \cdot (2^3)^{\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}$
$2^{5\sqrt[3]{x-2y}} \cdot 2^{3\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}$
$2^{5\sqrt[3]{x-2y} + 3\sqrt[3]{x+y}} = 2^{13}$
Приравняем показатели: $5\sqrt[3]{x-2y} + 3\sqrt[3]{x+y} = 13$.
Второе уравнение:
$\frac{(2^3)^{\sqrt[3]{x-2y}}}{(2^4)^{\sqrt[3]{x+y}}} = 2^2$
$2^{3\sqrt[3]{x-2y} - 4\sqrt[3]{x+y}} = 2^2$
Приравняем показатели: $3\sqrt[3]{x-2y} - 4\sqrt[3]{x+y} = 2$.
Введем новые переменные для упрощения. Пусть $u = \sqrt[3]{x-2y}$ и $v = \sqrt[3]{x+y}$.
Получим систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$:
$ \begin{cases} 5u + 3v = 13 \\ 3u - 4v = 2 \end{cases} $
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3:
$ \begin{cases} 20u + 12v = 52 \\ 9u - 12v = 6 \end{cases} $
Сложим два уравнения: $29u = 58$, откуда $u = 2$.
Подставим $u=2$ в первое уравнение исходной линейной системы: $5(2) + 3v = 13 \implies 10 + 3v = 13 \implies 3v = 3$, откуда $v = 1$.
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$:
$u = \sqrt[3]{x-2y} = 2 \implies x - 2y = 2^3 = 8$
$v = \sqrt[3]{x+y} = 1 \implies x + y = 1^3 = 1$
Получили новую систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 8 \\ x + y = 1 \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго: $(x+y) - (x-2y) = 1 - 8 \implies 3y = -7 \implies y = -\frac{7}{3}$.
Подставим значение $y$ во второе уравнение: $x + (-\frac{7}{3}) = 1 \implies x = 1 + \frac{7}{3} = \frac{3}{3} + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$.
Решением системы является пара чисел $(\frac{10}{3}, -\frac{7}{3})$.

Ответ: $(\frac{10}{3}; -\frac{7}{3})$.