Номер 33.24, страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мордкович, Семенов

§ 33. Системы уравнений. Глава 6. Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств*. ч. 2 - номер 33.24, страница 212.

33.24. a) $$\begin{cases} 2\sqrt{3y+x} - \sqrt{6y-x} = x, \\ \sqrt{3y+x} + \sqrt{6y-x} = 3y; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} \sqrt{2x-3y} + \sqrt{4x+3y} = 2x, \\ 2\sqrt{2x-3y} = \sqrt{4x+3y} - 3y. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2\sqrt{3y + x} - \sqrt{6y - x} = x, \\ \sqrt{3y + x} + \sqrt{6y - x} = 3y \end{cases} $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями неотрицательности подкоренных выражений: $3y + x \ge 0$ и $6y - x \ge 0$.

Для упрощения введем новые переменные: пусть $a = \sqrt{3y + x}$ и $b = \sqrt{6y - x}$. По определению арифметического квадратного корня, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. После замены система принимает вид: $$ \begin{cases} 2a - b = x, \\ a + b = 3y \end{cases} $$

Решим полученную систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$. Сложим первое и второе уравнения: $(2a - b) + (a + b) = x + 3y$ $3a = x + 3y \implies a = \frac{x + 3y}{3}$.

Теперь вычтем из второго уравнения, умноженного на 2, первое уравнение: $2(a + b) - (2a - b) = 2(3y) - x$ $2a + 2b - 2a + b = 6y - x$ $3b = 6y - x \implies b = \frac{6y - x}{3}$.

Вернемся к исходным переменным, подставив полученные выражения для $a$ и $b$: $$ \sqrt{3y + x} = \frac{3y + x}{3} $$ $$ \sqrt{6y - x} = \frac{6y - x}{3} $$

Оба уравнения имеют вид $\sqrt{Z} = \frac{Z}{3}$. Решим это уравнение в общем виде. Пусть $t = \sqrt{Z}$, где $t \ge 0$. Тогда $Z = t^2$, и уравнение становится $t = \frac{t^2}{3}$. $t^2 - 3t = 0 \implies t(t-3) = 0$. Решения: $t=0$ или $t=3$. Следовательно, $\sqrt{Z}=0$ (т.е. $Z=0$) или $\sqrt{Z}=3$ (т.е. $Z=9$).

Применяя это к нашей задаче, получаем четыре возможные системы линейных уравнений:

1. $3y + x = 0$ и $6y - x = 0$
2. $3y + x = 0$ и $6y - x = 9$
3. $3y + x = 9$ и $6y - x = 0$
4. $3y + x = 9$ и $6y - x = 9$

Решим каждую систему:
1) $\begin{cases} 3y + x = 0 \\ 6y - x = 0 \end{cases} \implies 9y=0 \implies y=0, x=0$. Решение: $(0; 0)$.
2) $\begin{cases} 3y + x = 0 \\ 6y - x = 9 \end{cases} \implies 9y=9 \implies y=1, x=-3$. Решение: $(-3; 1)$.
3) $\begin{cases} 3y + x = 9 \\ 6y - x = 0 \end{cases} \implies 9y=9 \implies y=1, x=6$. Решение: $(6; 1)$.
4) $\begin{cases} 3y + x = 9 \\ 6y - x = 9 \end{cases} \implies 9y=18 \implies y=2, x=3$. Решение: $(3; 2)$.

Все полученные пары чисел удовлетворяют условиям $a \ge 0$ и $b \ge 0$, а также ОДЗ.
Ответ: $(-3; 1)$, $(0; 0)$, $(3; 2)$, $(6; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{2x - 3y} + \sqrt{4x + 3y} = 2x, \\ 2\sqrt{2x - 3y} = \sqrt{4x + 3y} - 3y \end{cases} $$ ОДЗ: $2x - 3y \ge 0$ и $4x + 3y \ge 0$.

Введем переменные $u = \sqrt{2x - 3y}$ и $v = \sqrt{4x + 3y}$, где $u \ge 0, v \ge 0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} u + v = 2x, \\ 2u = v - 3y \end{cases} $$ Перепишем второе уравнение как $v - 2u = 3y$.

Решим систему относительно $u$ и $v$. Вычтем второе уравнение из первого: $(u + v) - (v - 2u) = 2x - 3y$ $3u = 2x - 3y \implies u = \frac{2x - 3y}{3}$.

Сложим первое уравнение, умноженное на 2, и второе: $2(u + v) + (v - 2u) = 2(2x) + 3y$ $3v = 4x + 3y \implies v = \frac{4x + 3y}{3}$.

Подставив обратно определения $u$ и $v$, получим: $$ \sqrt{2x - 3y} = \frac{2x - 3y}{3} $$ $$ \sqrt{4x + 3y} = \frac{4x + 3y}{3} $$

Как и в задании а), уравнения вида $\sqrt{Z} = \frac{Z}{3}$ приводят к решениям $Z=0$ или $Z=9$. Следовательно, получаем четыре системы линейных уравнений:

1. $2x - 3y = 0$ и $4x + 3y = 0$
2. $2x - 3y = 0$ и $4x + 3y = 9$
3. $2x - 3y = 9$ и $4x + 3y = 0$
4. $2x - 3y = 9$ и $4x + 3y = 9$

Решим каждую систему:
1) $\begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ 4x + 3y = 0 \end{cases} \implies 6x=0 \implies x=0, y=0$. Решение: $(0; 0)$.
2) $\begin{cases} 2x - 3y = 0 \\ 4x + 3y = 9 \end{cases} \implies 6x=9 \implies x=\frac{3}{2}, y=1$. Решение: $(\frac{3}{2}; 1)$.
3) $\begin{cases} 2x - 3y = 9 \\ 4x + 3y = 0 \end{cases} \implies 6x=9 \implies x=\frac{3}{2}, y=-2$. Решение: $(\frac{3}{2}; -2)$.
4) $\begin{cases} 2x - 3y = 9 \\ 4x + 3y = 9 \end{cases} \implies 6x=18 \implies x=3, y=-1$. Решение: $(3; -1)$.

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ и условиям $u \ge 0, v \ge 0$.
Ответ: $(0; 0)$, $(\frac{3}{2}; -2)$, $(\frac{3}{2}; 1)$, $(3; -1)$.